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$\mathrm {E,F,G.}$ En les supposant toutes nulles, 1^o à l’exception de $\mathrm {A} ,$ 2^o à l’exception de $\mathrm {B} ,$ 3^o à l’exception de $\mathrm {C} ,$ etc., et restituant ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}$ au lieu de $x',y',z',$ on aura les intégrales

(P)

$\left\{{\begin{aligned}c=&{\frac {xdy-ydx}{dt}},\quad c={\frac {xdz-zdx}{dt}},\quad c={\frac {ydz-zdy}{dt}},\\\\0=&f\ +x\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {ydydx}{dt^{2}}}+{\frac {zdzdx}{dt^{2}}},\\\\0=&f'\,+x\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdy}{dt^{2}}}+{\frac {zdzdy}{dt^{2}}},\\\\0=&f''+z\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdz}{dt^{2}}}+{\frac {ydydz}{dt^{2}}},\\\\0=&{\frac {\mu }{a}}-{\frac {2\mu }{r}}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}+d^{2}z}{dt^{2}}}\,;\end{aligned}}\right.$

$c,c',c'',f,f',f''$ et $a$ étant des constantes arbitraires.

Les équations différentielles (O) ne peuvent avoir que six intégrales distinctes du premier ordre, au moyen desquelles, si l’on élimine les différences $dx,dy,dz,$ on aura les trois variables $x,y,z$ en fonction du temps $t$ ; il faut donc qu’au moins l’une des sept intégrales précédentes rentre dans les six autres. On voit même a priori que deux de ces intégrales doivent rentrer dans les cinq autres. En effet, puisque l’élément seul du temps entre dans ces intégrales, elles ne peuvent pas donner les variables $x,y,z$ en fonction du temps, et par conséquent elles sont insuffisantes pour déterminer complètement le mouvement de $m$ autour de $\mathrm {M} .$ Examinons comment ces intégrales n’équivalent qu’à cinq intégrales distinctes.

Si l’on multiplie la quatrième des équations (P) par ${\frac {zdy-ydz}{dt}},$ et qu’on l’ajoute à la cinquième multipliée par ${\frac {xdz-zdx}{dt}},$ on aura

$0=f{\frac {zdy-ydz}{dt}}+f{\frac {xdz-zdx}{dt}}$

$+z{\frac {xdy-ydx}{dt}}\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdy-ydx}{dt}}\left({\frac {xdxdz}{dt^{2}}}+{\frac {ydydz}{dt^{2}}}\right).$