et, comme on a
on aura
![{\displaystyle \lambda ^{i}={\frac {e^{i}}{2^{i}}}\left[1+i\left({\frac {e}{2}}\right)^{2}+{\frac {i(i+3)}{1.2}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{4}+{\frac {i(i+4)(i+5)}{1.2.3}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{6}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aa60c8c190e6c78c9bb1c5b1d79adeff97c471)
Cela posé, on trouvera, en ne portant l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre
inclusivement,
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&nt+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}\right)\sin nt\\\\&+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\sin 2nt+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}\right)\sin 3nt\\\\&+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\sin 4nt+{\frac {1097}{960}}e^{5}\sin 5nt+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6nt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dd44500b7b26ad231de559e53526354a8cfb4e)
Les angles
et
sont ici comptés du périhélie ; mais, si l’on veut compter ces angles de l’aphélie, il est clair qu’il suffit de faire
négatif dans les expressions précédentes de
et de
Il suffirait encore d’augmenter, dans ces expressions, l’angle
de la demi-circonférence, ce qui rend négatifs les sinus et les cosinus des multiples impairs de
; ainsi, les résultats de ces deux méthodes devant être identiques, il faut que, dans les expressions de
et de
les sinus et les cosinus des multiples impairs de
soient multipliés par des puissances impaires de
et que les sinus et cosinus des multiples pairs du même angle soient multipliés par des puissances paires de cette quantité. C’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori.
Supposons qu’au lieu de compter l’angle
du périhélie on fixe son origine à un point quelconque ; il est clair que cet angle sera augmenté d’une constante, que nous désignerons par
et qui exprimera la longitude du périhélie. Si, au lieu de fixer l’origine de
à l’instant du passage au périhélie, on la fixe à un instant quelconque, l’angle
sera augmenté d’une constante, que nous désignerons par
; les expressions précédentes de
et de
deviendront ainsi
![{\displaystyle {\frac {r}{a}}=1+{\frac {1}{2}}e^{2}-\left(e-{\frac {3}{8}}e^{3}\right)\cos(nt+\varepsilon -\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7998fd2e8eb3b9b7bef7e827e9ece2e1fb7f75)
![{\displaystyle -\left({\frac {1}{2}}e^{2}-{\frac {1}{3}}e^{4}\right)\cos 2(nt+\varepsilon -\varpi )-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4374e09e1d07bde3fa429892e0c0c070017af3)
![{\displaystyle v=nt+\varepsilon +\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin(nt+\varepsilon -\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6ac69ef23c4fc941a22cce6d67348eb6c043c6)
![{\displaystyle +\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}\right)\sin 2(nt+\varepsilon -\varpi )+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba2472d40021c26e95bb4f75d03b00467415194)