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et, comme on a $u=1+{\sqrt {1-e^{2}}},$ on aura

$\lambda ^{i}={\frac {e^{i}}{2^{i}}}\left[1+i\left({\frac {e}{2}}\right)^{2}+{\frac {i(i+3)}{1.2}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{4}+{\frac {i(i+4)(i+5)}{1.2.3}}\left({\frac {e}{2}}\right)^{6}+\ldots \right].$

Cela posé, on trouvera, en ne portant l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre $e^{6}$ inclusivement,

${\begin{aligned}v=&nt+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}+{\frac {5}{96}}e^{5}\right)\sin nt\\\\&+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}+{\frac {17}{192}}e^{6}\right)\sin 2nt+\left({\frac {13}{12}}e^{3}-{\frac {43}{64}}e^{5}\right)\sin 3nt\\\\&+\left({\frac {103}{96}}e^{4}-{\frac {451}{480}}e^{6}\right)\sin 4nt+{\frac {1097}{960}}e^{5}\sin 5nt+{\frac {1223}{960}}e^{6}\sin 6nt.\end{aligned}}$

Les angles $v$ et $nt$ sont ici comptés du périhélie ; mais, si l’on veut compter ces angles de l’aphélie, il est clair qu’il suffit de faire $e$ négatif dans les expressions précédentes de $r$ et de $v.$ Il suffirait encore d’augmenter, dans ces expressions, l’angle $nt$ de la demi-circonférence, ce qui rend négatifs les sinus et les cosinus des multiples impairs de $nt$ ; ainsi, les résultats de ces deux méthodes devant être identiques, il faut que, dans les expressions de $r$ et de $v,$ les sinus et les cosinus des multiples impairs de $nt$ soient multipliés par des puissances impaires de $e,$ et que les sinus et cosinus des multiples pairs du même angle soient multipliés par des puissances paires de cette quantité. C’est, en effet, ce que le calcul confirme a posteriori.

Supposons qu’au lieu de compter l’angle $v$ du périhélie on fixe son origine à un point quelconque ; il est clair que cet angle sera augmenté d’une constante, que nous désignerons par $\varpi ,$ et qui exprimera la longitude du périhélie. Si, au lieu de fixer l’origine de $t$ à l’instant du passage au périhélie, on la fixe à un instant quelconque, l’angle $nt$ sera augmenté d’une constante, que nous désignerons par $\varepsilon -\varpi$ ; les expressions précédentes de ${\frac {r}{a}}$ et de $v$ deviendront ainsi

${\frac {r}{a}}=1+{\frac {1}{2}}e^{2}-\left(e-{\frac {3}{8}}e^{3}\right)\cos(nt+\varepsilon -\varpi )$

$-\left({\frac {1}{2}}e^{2}-{\frac {1}{3}}e^{4}\right)\cos 2(nt+\varepsilon -\varpi )-\ldots$

$v=nt+\varepsilon +\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin(nt+\varepsilon -\varpi )$

$+\left({\frac {5}{4}}e^{2}-{\frac {11}{24}}e^{4}\right)\sin 2(nt+\varepsilon -\varpi )+\ldots$