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MÉCANIQUE CÉLESTE.

supposant donc le système libre, les conditions relatives à la liaison des parties du système n’influant que sur les variations $\delta f,\delta f',\cdots ,$ la variation $\delta x$ en est indépendante, et elle est arbitraire ; ainsi, en substituant dans l’équation (P) du n° 18, au lieu de $\delta x',\delta x'',\cdots ,\delta y,\delta y',\delta y'',\cdots ,$ leurs valeurs précédentes, on doit égaler séparément à zéro le coefficient de $\delta x,$ ce qui donne

$0=\sum m{\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}+\sum m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right),$

d’où l’on tire, en intégrant par rapport au temps $t,$

$c=\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right)dt,$

$c$ étant une constante arbitraire.

On peut, dans cette intégrale, changer les coordonnées $y,y',\cdots ,$ dans $z,z',\cdots ,$ pourvu que l’on y substitue, au lieu des forces ${\rm {Q,Q',\cdots }}$ parallèles à l’axe des $y$, les forces ${\rm {R,R',\cdots ,}}$ parallèles à l’axe des $z,$ ce qui donne

$c'=\Sigma m{\frac {xdz-zdx}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x\right)dt,$

$c'$ étant une nouvelle arbitraire. On aura de la même manière

$c''=\sum m{\frac {ydz-zdy}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {Q} z-\mathrm {R} y\right)dt,$

$c''$ étant une troisième arbitraire.

Supposons que les corps du système ne soient soumis qu’à leur action mutuelle et à une force dirigée vers l’origine des coordonnées. Si l’on nomme, comme ci-dessus, $p$ l’action réciproque de $m$ et de $m',$ on aura, en vertu de cette action seule,

$0=m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right)+m'\left(\mathrm {P} 'y'-\mathrm {Q} 'x'\right)\ ;$

ainsi l’action mutuelle des corps disparaît de l’intégrale finie $\sum m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right).$ Soit $\mathrm {S}$ la force qui sollicite $m$ vers l’origine des coor-