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MÉCANIQUE CÉLESTE.
supposant donc le système libre, les conditions relatives à la liaison des parties du système n’influant que sur les variations
la variation
en est indépendante, et elle est arbitraire ; ainsi, en substituant dans l’équation (P) du n° 18, au lieu de
leurs valeurs précédentes, on doit égaler séparément à zéro le coefficient de
ce qui donne
![{\displaystyle 0=\sum m{\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}+\sum m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead25b2b5a1aa1c576f094674852b0361ab27cc7)
d’où l’on tire, en intégrant par rapport au temps ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle c=\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f395ae83df11aa7e4e0a799440a98ad5e4f8e77d)
étant une constante arbitraire.
On peut, dans cette intégrale, changer les coordonnées
dans
pourvu que l’on y substitue, au lieu des forces
parallèles à l’axe des
, les forces
parallèles à l’axe des
ce qui donne
![{\displaystyle c'=\Sigma m{\frac {xdz-zdx}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b666ad155dbfc12b517a0e284b0761cae19c225d)
étant une nouvelle arbitraire. On aura de la même manière
![{\displaystyle c''=\sum m{\frac {ydz-zdy}{dt}}+\sum \int m\left(\mathrm {Q} z-\mathrm {R} y\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ad04d5abde82d39fc6f0dd200be18c0124cd52)
étant une troisième arbitraire.
Supposons que les corps du système ne soient soumis qu’à leur action mutuelle et à une force dirigée vers l’origine des coordonnées. Si l’on nomme, comme ci-dessus,
l’action réciproque de
et de
on aura, en vertu de cette action seule,
![{\displaystyle 0=m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right)+m'\left(\mathrm {P} 'y'-\mathrm {Q} 'x'\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5a60b08739d6d5375141fe0ecd4c67b3fc9af3)
ainsi l’action mutuelle des corps disparaît de l’intégrale finie
Soit
la force qui sollicite
vers l’origine des coor-