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produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de $m'$ une inégalité dépendante de l’argument $(n'i-nt+\varepsilon '-\varepsilon$ et qui, ayant pour diviseur $(n'-n)^{2}-n'^{2}$ ou $n(n-2n'),$ est fort sensible. On voit pareillement que l’action de $m''$ sur $m'$ produit dans les mêmes quantités une inégalité considérable, dépendant de l’argument $2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ').$ Enfin on voit que l’action de $m'$ produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de $m''$ une inégalité considérable, dépendant de l’argument $n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon .$ Ces inégalités ont été reconnues d’abord par les observations ; nous les développerons avec étendue dans la théorie des satellites de Jupiter ; leur grandeur par rapport aux autres inégalités permet de négliger celles-ci dans la question présente. Nous supposerons donc

${\begin{array}{ll}\delta r&=m'\ {\rm {E}}'\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\\\delta v&=m'\ {\rm {F}}'\sin 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\\\delta r'&=m''{\rm {E}}''\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+m{\rm {G}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\\\delta v'&=m''{\rm {F}}''\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+m{\rm {H}}\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),\\\delta r''&=m'\ {\rm {G}}'\cos(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon '),\\\delta v''&=m'{\rm {H}}'\sin(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ').\end{array}}$

Il faut maintenant substituer dans l’expression précédente de $d{\rm {R}},$ au lieu de $r,v,r',v',r'',v'',$ les valeurs de $a+\delta r,\ nt+\varepsilon +\delta v,\ a'+\delta r',$$n't+\varepsilon '+\delta v',\ a''+\delta r'',\ n''t+\varepsilon ''+\delta v'',$ et ne conserver que les termes dépendants de l’argument $nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon ''\,;$ or il est facile de voir que la substitution des valeurs de $\delta r,\delta v,\delta r'',\delta v''$ ne peut produire aucun terme semblable. Il n’en est pas ainsi de la substitution des valeurs de $\delta r'$ et de $\delta v'\,;$ le terme $m'(r,r')^{(1)}dv\sin(v'-v)$ de l’expression de $d{\rm {R}}$ produit la quantité suivante

$-{\frac {m'm''ndt}{2}}\left[{\rm {E}}''{\frac {\partial (a,a')^{(1)}}{\partial a'}}-{\rm {F}}''(a,a')^{(1)}\right]\times$

$\sin(nt-3n't+2n''t+\varepsilon -3\varepsilon '+2\varepsilon '')\,;$

c’est la seule quantité de ce genre que renferme l’expression de $d{\rm {R}}.$

Les expressions de ${\frac {\delta r}{a}}$ et de $\delta v$ du n^o 50, appliquées à l’action de $m''$