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Cette expression de $de$ peut être mise sous une forme plus commode dans quelques circonstances. Pour cela, nous observerons que $dr{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=d{\rm {R}}-dv{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\,;$ en substituant pour $r$ et $dr$ leurs valeurs précédentes, on aura

$r^{2}dv.e\sin(v-\varpi ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=a\left(1-e^{2}\right)d{\rm {R}}-a\left(1-e^{2}\right)dv{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\,;$

or on a

$r^{2}dv=a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}},\qquad dv={\frac {ndt\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}{\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

partant

$a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(v-\varpi ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=$

${\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e}}d{\rm {R}}-{\frac {andt}{e{\sqrt {1-e^{2}}}}}\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\,;$

l’expression précédente de $de$ donnera ainsi

$ede={\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mu }}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}-{\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\mu }}d{\rm {R}}.$

On peut parvenir fort simplement à cette formule, de la manière suivante. On a, par le n^o 64,

${\frac {dc}{dt}}=y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial v}}\,;$

mais on a, par le même numéro, $c={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}},$ ce qui donne

$dc={\frac {da{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}}{2a}}-{\frac {ede{\sqrt {\mu a}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}\,;$

partant

$ede={\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mu }}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}+a\left(1-e^{2}\right){\frac {da}{2a^{2}}}\,;$

on a ensuite, par le n^o 64,

${\frac {\mu da}{2a^{2}}}=-d{\rm {R}}\,;$

on aura ainsi pour $ede$ la même expression que ci-dessus.