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on aura donc

$lg\operatorname {\log } \rho =\mathrm {const} .-r'g'+{\frac {r'^{2}}{\mathrm {R} }}g',$

d’où l’on tire

$\rho =\Pi c^{-{\frac {r'g'}{lg}}\left(1-{\frac {r'}{\mathrm {R} }}\right)},$

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $\Pi$ étant une constante, visiblement égale à la densité de l’air à la surface de la mer. Nommons $h$ et $h'$ les longueurs du pendule à seconde à la surface de la mer, sous l’équateur, et à la latitude de la molécule aérienne que nous considérons ; on aura ${\frac {g'}{g}}={\frac {h'}{h}},$ et par conséquent

$\rho =\Pi c^{-{\frac {r'h'}{lh}}\left(1-{\frac {r'}{\mathrm {R} }}\right)}.$

Cette expression de la densité de l’air fait voir que les couches de même densité sont partout également élevées au-dessus de la mer, à la quantité près ${\frac {r'(h'-h)}{h}}\,;$ mais, dans le calcul exact des hauteurs des montagnes par les observations du baromètre, cette quantité ne doit point être négligée.

Considérons présentement l’atmosphère dans l’état de mouvement, et déterminons les oscillations d’une couche de niveau, ou de même densité dans l’état d’équilibre. Soit $\alpha \varphi$ l’élévation d’une molécule d’air au-dessus de la surface de niveau à laquelle elle appartient dans l’état d’équilibre ; il est clair qu’en vertu de cette élévation la valeur de $\delta \mathrm {V}$ sera augmentée de la variation différentielle $-\alpha g\delta \varphi \,;$ on aura ainsi

$\delta \mathrm {V} =(\delta \mathrm {V} )-\alpha g\delta \varphi +\alpha \delta \mathrm {V} ',$

$(\delta \mathrm {V} )$ étant la valeur de $\delta \mathrm {V}$ qui, dans l’état d’équilibre, correspond à la couche de niveau et aux angles $\theta +\alpha u$ et $nt+\varpi +\alpha v\,;$ et $\delta \mathrm {V} '$ étant la partie de $\delta \mathrm {V}$ due aux nouvelles forces qui, dans l’état de mouvement, agitent l’atmosphère.