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variable, ce qui donne

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mu }}\ &={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}}{\frac {\partial r'}{\partial \mu }}=-{\frac {r\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}},\\\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \mu ^{2}}}&={\frac {r^{2}\mu ^{2}}{1-\mu ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}}-{\frac {r}{\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\partial V}{\partial r}}\,;\end{aligned}}$

l’équation (C) devient ainsi

$0=r'^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \varpi ^{2}}}+r'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\mathrm {V} =\varphi \left(r'\cos \varpi +r'{\sqrt {-1}}\sin \varpi \right)+\psi \left(r'\cos \varpi -r'{\sqrt {-1}}\sin \varpi \right),$

$\varphi (r')$ et $\psi (r')$ étant des fonctions arbitraires de $r',$ que l’on pourra déterminer en cherchant l’attraction du cylindre lorsque $\varpi$ est nul, et lorsqu’il est égal à un angle droit.

Si la base du cylindre est un cercle, ${\rm {V}}$ sera évidemment une fonction de $r',$ indépendante de $\varpi \,;$ l’équation précédente aux différences partielles deviendra ainsi

$0=r'^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial r'^{2}}}+r'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}},$

ce qui donne, en intégrant,

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r'}}={\frac {\mathrm {H} }{r'}},$

${\rm {H}}$ étant une constante. Pour la déterminer, nous supposerons $r'$ extrêmement grand par rapport au rayon de la base du cylindre, ce qui permet de considérer le cylindre comme une ligne droite infinie. Soit ${\rm {A}}$ cette base, et $z$ la distance d’un point quelconque de l’axe du cylindre au point où cet axe est rencontré par $r'$ ; l’action du cylindre, considéré comme concentré sur son axe, sera, parallèlement à $r'\,;$ égale à

$\int {\frac {Ar'dz}{\left(r'^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$