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valeurs précédentes, on aura, en comparant les coefficients des mêmes cosinus,

${\begin{aligned}0&={\rm {NN_{1}}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'N'_{1}}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''N''_{1}}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots ,\\0&={\rm {NN_{2}}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'N'_{2}}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''N''_{2}}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cela posé, si l’on multiplie les valeurs précédentes de $h,h',\ldots$ respectivement par ${\rm {N}}m{\sqrt {a}},{\rm {N'}}m'{\sqrt {a'}},\ldots ,$ on aura, en vertu de ces dernières équations,

${\rm {N}}mh{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}m'h'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}m''h''{\sqrt {a''}}+\ldots ,$

$=\left({\rm {N^{2}}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'^{2}}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''^{2}}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right)\sin(gt+{\text{ϐ}}).$

On aura pareillement

${\rm {N}}ml{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}m'l'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}m''l''{\sqrt {a''}}+\ldots ,$

$=\left({\rm {N^{2}}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'^{2}}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''^{2}}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right)\cos(gt+{\text{ϐ}}).$

En fixant l’origine du temps $t$ à l’époque pour laquelle les valeurs de $h,l,h',l',\ldots$ sont supposées connues, les deux équations précédentes donnent

$\operatorname {tang} {\text{ϐ}}={\frac {{\rm {N}}hm{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}h'm'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}h''m''{\sqrt {a''}}+\ldots }{{\rm {N}}lm{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}l'm'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}l''m''{\sqrt {a''}}+\ldots }}.$

Cette expression de $\operatorname {tang} {\text{ϐ}}$ ne renferme point d’indéterminée ; car, quoique les constantes ${\rm {N,N',N'',\ldots }}$ dépendent de l’indéterminée ${\rm {N}}^{i-1},$ cependant, comme leurs rapports à cette indéterminée sont connus par ce qui précède, elle disparaît de l’expression de $\operatorname {tang} {\text{ϐ}}.$ Ayant ainsi déterminé ϐ, on aura ${\rm {N}}^{i-1}$ au moyen de l’une des deux équations qui donnent $\operatorname {tang} {\text{ϐ}}.$ et l’on en conclura le système des indéterminées ${\rm {N,N',N'',\ldots }}$ relatif à la racine $g.$ En changeant, dans les expressions précédentes, cette racine successivement en $g_{1},g_{2},g_{3},\ldots ,$ on aura les valeurs des arbitraires relatives à chacune de ces racines.

Si l’on substitue ces valeurs dans les expressions de $h,l,h',l',\ldots$ on en tirera les valeurs des excentricités $e,e',\ldots$ des orbites, et des