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12. Supposons maintenant que le sphéroïde soit une couche sphérique dont le centre soit à l’origine des coordonnées ; il est clair que ${\rm {V}}$ ne dépendra que de $r,$ et qu’il ne renfermera ni $\mu$ ni $\varpi$ ; l’équation (C) donnera donc

$0={\frac {\partial ^{2}.rV}{\partial r^{2}}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\mathrm {V=A} +{\frac {\mathrm {B} }{r}},$

${\rm {A}}$ et ${\rm {B}}$ étant deux constantes arbitraires. On a donc

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}={\frac {R}{r^{2}}}.$

$-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ exprime, par ce qui précède, l’action de la couche sphérique sur le point $m,$ décomposée suivant le rayon $r$ et dirigée vers le centre de la couche ; or il est clair que l’action totale de la couche doit être dirigée suivant ce rayon ; $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ exprime donc l’action totale de la couche sphérique sur le point $m.$

Supposons d’abord ce point placé au dedans de la couche. S’il était au centre même, l’action de la couche serait nulle ; on a donc $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}=0,$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}=0,$ lorsque $r=0,$ ce qui donne $\mathrm {B} =0,$ et par conséquent $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}=0,$ quel que soit $r\,;$ d’où il suit qu’un point placé dans l’intérieur de la couche n’en éprouve aucune action, ou, ce qui revient au même, il est également attiré de toutes parts.

Si le point $m$ est situé au dehors de la couche sphérique, il est visible qu’en le supposant infiniment éloigné de son centre, l’action de la couche sur ce point sera la même que si toute la masse de la couche était réunie à ce centre ; en nommant donc ${\rm {M}}$ la masse de cette couche, $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}$ deviendra, dans ce cas, égal à ${\frac {M}{r^{2}}},$ ce qui donne