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l’équation

$r^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}$

deviendra ainsi $r^{4}dv^{2}=h^{2}dt^{2},$ partant

$dv={\frac {hdt}{r^{2}}}.$

On voit par là que l’aire élémentaire ${\frac {1}{2}}r^{2}dv,$ décrite par le rayon vecteur $r,$ est proportionnelle à l’élément de temps $dt$ ; l’aire décrite pendant un temps fini est donc proportionnelle à ce temps. On voit encore que le mouvement angulaire de $m$ autour de ${\rm {M}}$ est, à chaque point de l’orbite, réciproque au carré du rayon vecteur ; et comme on peut, sans erreur sensible, prendre des intervalles de temps très-courts pour des instants infiniment petits, on aura, au moyen de l’équation précédente, les mouvements horaires des planètes et des comètes dans les divers points de leurs orbites.

Les éléments de la section conique décrite par $m$ sont les constantes arbitraires de son mouvement ; ils sont par conséquent fonctions des arbitraires précédentes $c,c',c'',f,f',f''$ et ${\frac {\mu }{a}}$ déterminons ces fonctions. Soit $\theta$ l’angle que forme avec l’axe des $x$ l’intersection du plan de l’orbite avec celui des $x$ et des $y$, intersection que l’on nomme ligne des nœuds ; soit $\varphi$ l’inclinaison mutuelle des deux plans. Si l’on nomme $x'$ et $y'$ les coordonnées de $m,$ rapportées à la ligne des nœuds comme axe des abscisses, on aura

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta +y\sin \theta ,\\y'&=y\cos \theta -x\sin \theta .\end{aligned}}$

On a d’ailleurs

$z=y'\operatorname {tang} \varphi \,;$

on aura donc

$z=y\cos \theta \operatorname {tang} \varphi -x\sin \theta \operatorname {tang} \varphi .$

En comparant cette équation à celle-ci

$0=c''x-c'y+cz,$