on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}c'&=c\cos \theta \operatorname {tang} \varphi ,\\c''&=c\sin \theta \operatorname {tang} \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ecaaec5f6e3aee65c0b74e986ec4ef9eef9eaa)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} \theta &={\frac {c''}{c'}},\\\\\operatorname {tang} \varphi &={\frac {\sqrt {c'^{2}+c''^{2}}}{c}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899f1d461c5b4e411ea14bcf51a1e0d40c305ccd)
Ainsi la position des nœuds et l’inclinaison de l’orbite sont déterminées en fonction des constantes arbitraires ![{\displaystyle c,c',c''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c9d9c50d6e48b92eebaa38975d7bfaf9d9051c)
Au périhélie, on a
![{\displaystyle rdr=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d03e3177a71a07daebeea098481c375a0379de)
ou
![{\displaystyle \quad xdx+ydx+zdx=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b02c261720236ac01cfa181b7fff9a415111754)
soient donc
les coordonnées de la planète à ce point ; la quatrième et la cinquième des équations (P) du numéro précédent donneront
![{\displaystyle {\frac {\rm {Y}}{\rm {X}}}={\frac {f'}{f}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc2a7e1385e44366ac3fe09679670a345c26c44)
Mais si l’on nomme
la longitude de la projection du périhélie sur le plan des
et des
, cette longitude étant comptée de l’axe des
, on a
![{\displaystyle {\frac {\rm {Y}}{\rm {X}}}=\operatorname {tang} {\rm {I}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6162881d30b43bb9c75f4abdb37b4ddee6459235)
partant
![{\displaystyle \quad \operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {f'}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b40398a3915a14f80aa9ea5c37fbf26e0b4931)
ce qui détermine la position du grand axe de la section conique.
Si de l’équation
![{\displaystyle r^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640893b01fa1f7a27aae18e731fe098cf124ff26)
on élimine
au moyen de la dernière des équations (P), on aura
![{\displaystyle 2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87641ad3f1be1835c4a45912b0a104d82ef2062)