Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/221

on aura

${\begin{aligned}c'&=c\cos \theta \operatorname {tang} \varphi ,\\c''&=c\sin \theta \operatorname {tang} \varphi ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \theta &={\frac {c''}{c'}},\\\\\operatorname {tang} \varphi &={\frac {\sqrt {c'^{2}+c''^{2}}}{c}}.\end{aligned}}$

Ainsi la position des nœuds et l’inclinaison de l’orbite sont déterminées en fonction des constantes arbitraires $c,c',c''.$

Au périhélie, on a

$rdr=0,\quad$ou$\quad xdx+ydx+zdx=0\,;$

soient donc ${\rm {X,Y,Z}}$ les coordonnées de la planète à ce point ; la quatrième et la cinquième des équations (P) du numéro précédent donneront

${\frac {\rm {Y}}{\rm {X}}}={\frac {f'}{f}}.$

Mais si l’on nomme ${\rm {I}}$ la longitude de la projection du périhélie sur le plan des $x$ et des $y$, cette longitude étant comptée de l’axe des $x$, on a

${\frac {\rm {Y}}{\rm {X}}}=\operatorname {tang} {\rm {I}},\quad$partant$\quad \operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {f'}{f}},$

ce qui détermine la position du grand axe de la section conique.

Si de l’équation

$r^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}$

on élimine ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$ au moyen de la dernière des équations (P), on aura

$2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}\,;$