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on aura donc, aux quantités près du second ordre,

-{\frac {\mathrm {M} \Sigma {\frac {mx}{r^{3}}}}{\Sigma m}}=-\mathrm {\frac {MX}{R^{3}}} \,;

ainsi le centre de gravité du système est à très-peu près sollicité parallèlement à l’axe des $x$ par l’action du corps $\mathrm {M} ,$ comme si tous les corps du système étaient réunis à ce centre. Le même résultat a évidemment lieu relativement aux axes des $y$ et des $z\,;$ en sorte que les forces dont le centre de gravité du système est animé parallèlement à ces axes par l’action de ${\rm {M}}$ sont $-\mathrm {\frac {MY}{R^{3}}}$ et $-\mathrm {\frac {MZ}{R^{3}}} .$

Lorsque l’on considère le mouvement relatif du centre de gravité du système autour de $\mathrm {M} ,$ il faut lui transporter en sens contraire la force qui sollicite ce corps. Cette force résultante de l’action de $m,m',m'',\ldots$ sur $\mathrm {M} ,$ et décomposée parallèlement aux $x$ en sens contraire de leur origine, est $\Sigma {\frac {mx}{r^{3}}}\,;$ si l’on néglige les quantités du second ordre, cette fonction est, par ce qui précède, égale à

{\frac {\mathrm {X} \Sigma m}{\mathrm {R} ^{3}}}.

Pareillement, les forces dont ${\rm {M}}$ est animé par l’action du système parallèlement aux axes des $y$ et des $z$ , en sens contraire de leur origine, sont

{\frac {\mathrm {Y} \Sigma m}{\mathrm {R} ^{3}}}

et

{\frac {\mathrm {Z} \Sigma m}{\mathrm {R} ^{3}}}.

On voit ainsi que l’action du système sur le corps ${\rm {M}}$ est à très-peu près la même que si tous les corps de ce système étaient réunis à leur centre commun de gravité. En transportant à ce centre, et avec un signe contraire, les trois forces précédentes, ce point sera sollicité parallèlement aux axes des $x$ , des $y$ et des $z$ , dans son mouvement relatif autour de $\mathrm {M} ,$ par les trois forces suivantes :

-(M+\Sigma m){\frac {\mathrm {X} }{\mathrm {R} ^{3}}},\qquad -(M+\Sigma m){\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {R} ^{3}}},\qquad -(M+\Sigma m){\frac {\mathrm {Z} }{\mathrm {R} ^{3}}}.