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PREMIÈRE PARTIE. – LIVRE I.

tielle précédente. Mais ces quantités ne donnent que la position de l’axe instantané de rotation du corps sur sa surface ou relativement aux trois axes principaux, et sa vitesse angulaire de rotation. Pour avoir le mouvement réel du corps autour du point fixe, il faut connaître encore la position des axes principaux dans l’espace, ce qui doit introduire trois nouvelles arbitraires relatives à la position primitive de ces axes, et ce qui exige trois nouvelles intégrales, qui, jointes aux précédentes, donnent la solution complète du problème. Les équations (C) du n^o 26 renferment trois arbitraires ${\rm {N,N',N''\ ;}}$ mais elles ne sont pas entièrement distinctes des arbitraires ${\rm {H}}$ et $k.$ En effet, si l’on ajoute ensemble les carrés des premiers membres des équations (C), on a

p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}={\rm {N^{2}+N'^{2}+N''^{2},}}

ce qui donne

k'^{2}={\rm {N^{2}+N'^{2}+N''^{2}.}}

Les constantes ${\rm {N,N',N''}}$ répondent aux constantes $c,c',c''$ du n^o 21, et la fonction ${\frac {1}{2}}t{\sqrt {p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}}}$ exprime la somme des aires décrites pendant le temps $t$ par les projections de chaque molécule du corps sur le plan relativement auquel cette somme est un maximum. ${\rm {N'}}$ et ${\rm {N''}}$ sont nuls relativement à ce plan ; en égalant donc à zéro leurs valeurs trouvées dans le n^o 26, on aura

${\begin{aligned}&0=\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi ,\\&0=\mathrm {A} q\cos \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\cos \theta \cos \varphi +\mathrm {C} p\sin \theta .\end{aligned}}$

d’où l’on tire

{\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {p'}{\sqrt {p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}}}},\\\sin \theta \sin \varphi &={\frac {-q'}{\sqrt {p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}}}},\\\sin \theta \cos \varphi &={\frac {-r'}{\sqrt {p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}}}}.\end{aligned}}

Au moyen de ces équations, on connaîtra les valeurs de $\theta$ et de $\varphi$ en fonction du temps, relativement au plan fixe que nous venons de consi-