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MÉCANIQUE CÉLESTE.

on aura deux équations au moyen desquelles on pourra éliminer ${\frac {ds'}{dt}}\ ;$ mais il nous suffira ici de considérer la suivante

$c^{\frac {mt}{2}}{\frac {ds'}{dt}}\sin \gamma t+c^{\frac {mt}{2}}s'\left({\frac {m}{2}}\sin \gamma \mathrm {T} -\gamma \cos \gamma \mathrm {T} \right)=-l\int s'^{i}\,dt\cdot c^{\frac {mt}{2}}\sin \gamma t-\cdots ,$

les intégrales du second membre étant supposées commencer avec $t.$ Nommons $\mathrm {T}$ la valeur de $t$ à la fin du mouvement, où ${\frac {ds}{dt}}$ est nul ; on aura, à cet instant,

$c^{\frac {mt}{2}}s'\left({\frac {m}{2}}\sin \gamma \mathrm {T} -\gamma \cos \gamma \mathrm {T} \right)=-l\int \,s'^{i}dt\cdot c^{\frac {mt}{2}}\sin \gamma t-\cdots$

Dans le cas de $s'$ infiniment petit, le second membre de cette équation se réduit à zéro par rapport au premier, et l’on a

$0={\frac {m}{2}}\sin \gamma \mathrm {T} -\gamma \cos \gamma \mathrm {T} ,$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \gamma \mathrm {T} ={\frac {2\gamma }{m}}\ ;$

et, comme le temps $\mathrm {T}$ est, par la supposition, indépendant de l’arc parcouru, cette valeur de $\operatorname {tang} \gamma \mathrm {T}$ a lieu pour un arc quelconque, ce qui donne, quel que soit $s',$

$0=l\int s'^{i}dt\cdot c^{\frac {mt}{2}}\sin \gamma t+\cdots ,$

l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\mathrm {T} .$ En supposant $s'$ très-petit, cette équation se réduit à son premier terme, et elle ne peut être satisfaite qu’en faisant $l=0\ ;$ car, le facteur $c^{\frac {mt}{2}}\sin \gamma t$ étant constamment positif depuis $t=0$ jusqu’à $t=\mathrm {T} ,$ l’intégrale précédente est nécessairement positive dans cet intervalle. Il ne peut donc y avoir de tautochronisme que dans la supposition de

$n^{2}g{\frac {dz}{ds}}\left(1+s'\right)^{2}=ks',$