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on doit donc avoir identiquement

$0=k+k't+k''t^{2}+\ldots$

Si $k,k',k'',\ldots$ n’étaient pas nuls, cette équation donnerait, par le retour des suites, l’arc $t$ en fonction de sinus et de cosinus d’angles proportionnels à $t$ ; en supposant donc $\alpha$ infiniment petit, on aurait $t$ égal à une fonction finie de sinus et de cosinus d’angles semblables, ce qui est impossible ; ainsi les fonctions $k,k',\ldots$ sont identiquement nulles.

Maintenant, si l’arc $t$ n’est élevé qu’à la première puissance sous les signes sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les différences successives de $y$ ; en substituant donc la valeur précédente de $y$ dans la fonction ${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q}}$ la fonction $k+k't+\ldots$ dans laquelle elle se transforme, ne contiendra l’arc $t,$ hors des signes sinus et cosinus, qu’autant qu’il est déjà renfermé dans $y$ ; ainsi, en changeant, dans l’expression de $y,$ l’arc $t,$ hors des signes périodiques, dans $t-\theta ,\ \theta$ étant une constante quelconque, la fonction $k+k't+\ldots$ se changera dans $k+k'(t-\theta )+\ldots$ et, puisque cette dernière fonction est identiquement nulle, en vertu des équations identiques $k=0,\ k'=0,\ldots$ il en résulte que l’expression

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +\ldots$

satisfait encore à l’équation différentielle

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q.}}$

Quoique cette seconde valeur de $y$ semble renfermer $i+1$ arbitraires, savoir les $i$ arbitraires $c,c',c'',\ldots$ et l’arbitraire $\theta ,$ cependant elle ne peut en contenir que le nombre $i$ qui soient distinctes entre elles. Il est donc nécessaire que, par un changement convenable dans les constantes $c,c',c'',\ldots ,$ l’arbitraire $\theta$ puisse disparaître de cette seconde expression de $y,$ et qu’ainsi elle coïncide avec la première. Cette considération va