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et $e$ égal à l’unité, $a(1-e^{2})$ est le double de la distance périhélie ; soit ${\rm {D}}$ cette distance : l’équation précédente devient, relativement à cette courbe,

$\mathrm {D} =r-{\frac {1}{2}}\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}.$

${\frac {rdr}{dt}}$ est égal à ${\frac {{\frac {1}{2}}d.r^{2}}{dt}}\,;$ en substituant au lieu de $r^{2}$ sa valeur ${\frac {\rho ^{2}}{\cos ^{2}\theta }}+2\mathrm {R} \rho \cos(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2},$ et au lieu de $\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)$ et de $\left({\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\right)$ leurs valeurs trouvées dans le n^o 33, on aura

${\begin{aligned}{\frac {rdr}{dt}}=&\left[\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)+\rho \left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\operatorname {tang} \theta \right]+\mathrm {R} \left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\cos(\mathrm {A} -\alpha )\\\\&+\rho \left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\\\&+\rho \mathrm {R} \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+\mathrm {R(R} '-1).\end{aligned}}$

Soit ${\rm {P}}$ cette quantité; si elle est négative, le rayon vecteur $r$ va en diminuant, et par conséquent la comète tend vers son périhélie ; mais elle s’en éloigne, si ${\rm {P}}$ est positif. On a ensuite

$\mathrm {D} =r-{\frac {1}{2}}\mathrm {P} ^{2}\,;$

la distance angulaire $v$ de la comète à son périhélie se déterminera par l’équation polaire de la parabole

$\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v={\frac {\mathrm {D} }{r}}.$

Enfin, on aura le temps employé à décrire l’angle $v,$ par la Table du mouvement des comètes. Ce temps, ajouté ou retranché de celui de l’époque, suivant que ${\rm {P}}$ est négatif ou positif, donnera l’instant du passage de la comète par le périhélie.

37. En rassemblant ces divers résultats, on aura la méthode suivante, pour déterminer les orbes paraboliques des comètes.