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En multipliant cette équation par $dr$ et en l’intégrant, on aura

$r^{2}{\frac {dr^{2}}{dt^{2}}}-2\mu r+{\frac {\mu r^{2}}{a'}}+h^{2}=0,$

$a$ étant une constante arbitraire. De là on tire

$dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mu }}{\sqrt {2r-{\frac {r^{2}}{a'}}-{\frac {h^{2}}{\mu }}}}}}\,;$

cette équation donnera $r$ en fonction de $t$ et, comme $x,y,z$ sont donnés, par ce qui précède, en fonction de $r,$ on aura les coordonnées de $m$ en fonction du temps.

18. On peut parvenir à ces diverses équations par la méthode suivante, qui a l’avantage de donner les arbitraires en fonction des coordonnées $x,y,z$ et de leurs premières différences, ce qui nous sera très-utile dans la suite.

Supposons que $\mathrm {V=const} .$ soit une intégrale du premier ordre des équations $(O),\ \mathrm {V}$ étant une fonction de $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\,;$ nommons $x',y',z'$ ces trois dernières quantités. L’équation $\mathrm {V=const} .$ donnera par sa différentiation

$0={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}},\quad 0={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}{\frac {dx'}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}{\frac {dz'}{dt}}\,;$

mais les équations (O) donnent

${\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\mu x}{r^{3}}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\mu y}{r^{3}}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\mu z}{r^{3}}}\,;$

on a donc l’équation identique aux différences partielles

(I)

$0=x'{\frac {\partial V}{\partial x}}+y'{\frac {\partial V}{\partial y}}+z'{\frac {\partial V}{\partial z}}-{\frac {\mu }{r^{2}}}\left(x{\frac {\partial V}{\partial x'}}+y{\frac {\partial V}{\partial y'}}+z{\frac {\partial V}{\partial z'}}\right).$

Il est clair que toute fonction de $x,y,z,x',y',z'$ qui, substituée