on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {f} &=-(dr\sin v+2rdv\cos v){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}-r^{2}dv\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},\\\operatorname {f} '&=\ \ (dr\cos v-2rdv\sin v){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}+r^{2}dv\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d28f857d34dabc2528798c5fc1349daa17f5aa)
Ces équations seront plus exactes, si l’on prend pour plan fixe des
et des
celui de l’orbite de
à une époque donnée ; car alors
et
sont de l’ordre des forces perturbatrices ; ainsi les quantités que l’on néglige sont de l’ordre des carrés des forces perturbatrices multipliés par le carré de l’inclinaison respective des deux orbites de
et de ![{\displaystyle m'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11557748dec490579a5d684c3499d149993b062)
Les valeurs de
restent visiblement les mêmes, quelle que soit la position du point d’où l’on compte les longitudes ; mais, en diminuant
d’un angle droit,
se change dans
et
se change dans
l’expression de
change, par conséquent, dans celle de
d’où il suit qu’ayant développé la valeur de
dans une suite de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps, on aura la valeur de
en diminuant dans la première les angles
et
d’un angle droit.
Les quantités
et
déterminent la position du périhélie et l’excentricité de l’orbite ; en effet, on a vu dans le no 64 que
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {f'}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c932809dc9908dd1b3d8f4d921264a93161cbac5)
étant la longitude du périhélie, rapportée au plan fixe. Lorsque ce plan est celui de l’orbite primitive de
on a, aux quantités près de l’ordre des carrés des forces perturbatrices multipliés par le carré de l’inclinaison respective des orbites,
étant la longitude du périhélie sur l’orbite ; on aura donc alors
![{\displaystyle \operatorname {tang} \varpi ={\frac {f'}{f}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7f88a08799e06aa931e546c6865b943dfe8a58)
ce qui donne
![{\displaystyle \sin \varpi ={\frac {f'}{\sqrt {f^{2}+f'^{2}}}},\qquad \cos \varpi ={\frac {f}{\sqrt {f^{2}+f'^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd3e911e23cab1b2a179d5b28d7566844636bd)