perturbatrices, ce qui est analogue à ce que nous avons dit dans le no 69 sur les variations séculaires des excentricités et des périhélies.
72. Il nous reste à considérer la variation de la longitude
de l’époque. On a, par le no 64,
![{\displaystyle d\varepsilon =de\left[{\frac {d{\rm {E}}^{(1)}}{de}}\sin(v-\varpi )+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\rm {E}}^{(2)}}{de}}\sin 2(v-\varpi )+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d082357fc5f672b94f915561714fd1e663700f)
![{\displaystyle -d\varpi \left[{\rm {E}}^{(1)}\cos(v-\varpi )+{\rm {E}}^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aed591efd1d5ecd83a8e081a5cc7a21afe10a29)
en substituant pour
leurs valeurs en séries ordonnées suivant les puissances de
, séries qu’il est facile de conclure de l’expression générale de
du no 16, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\varepsilon &=-2de\sin(v-\varpi )+2ed\varpi \cos(v-\varpi )\\&+ede\left[{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}e^{2}+\ldots \right]\sin 2(v-\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -e^{2}d\varpi \left({\frac {3}{2}}+{\frac {1}{4}}e^{2}+\ldots \right)\cos 2(v-\varpi )\\&-e^{2}de(1+\ldots )\sin 3(v-\varpi )+e^{3}d\varpi (1+\ldots )\cos 3(v-\varpi )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bea5ca175d41b7c5cb8912eb9b2382b0ab4de5)
Si l’on substitue pour
et
leurs valeurs données dans le no 67, on trouvera, en ne portant la précision que jusqu’aux quantités de l’ordre
inclusivement,
![{\displaystyle d\varepsilon ={\frac {a^{2}ndt}{\mu }}{\sqrt {1-e^{2}}}\left[2-{\frac {3}{2}}e\cos(v-\varpi )+e^{2}\cos 2(v-\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73773a0dba4b4e617d2cf1c063c25d0b5bbaac0c)
![{\displaystyle -{\frac {andt}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}e\sin(v-\varpi )\left[1+{\frac {1}{2}}e\cos(v-\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b177475aa41cfdae483bf93f9721fafc433d78b6)
L’expression générale de
contient des termes de la forme
![{\displaystyle m'kndt\cos \left(i'n't-int+{\rm {A}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155b217066a672cd12fb7989364e841a70a59881)
et par conséquent l’expression de
en contient de la forme
![{\displaystyle {\frac {m'kn}{i'n'-in}}\sin \left(i'n't-int+{\rm {A}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776a2fcd49f06d8603fca61d5525b1b4ef60652a)
mais il est facile de se convaincre que le coefficient
dans ces termes