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et réciproquement, on aura les équations du mouvement des corps $m,m',m'',\ldots$ autour de $\mathrm {M} .$

Si l’on multiplie l’équation différentielle en $\zeta$ par $\mathrm {M} +\Sigma m,$ celle en $x$ par $m$, celle en $x'$ par $m',$ et ainsi du reste ; en les ajoutant ensemble, et en observant que, par la nature de la fonction $\lambda ,$ on a

$0={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+\ldots ,$

on aura

$0=(\mathrm {M} +\Sigma m){\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+\Sigma m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\zeta =a+bt-{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

$a$ et $b$ étant deux constantes arbitraires. On aura pareillement

${\begin{aligned}&\Pi =a'+b't-{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}},\\\\&\gamma =a''+b''t-{\frac {\Sigma mz}{\mathrm {M} +\Sigma m}},\end{aligned}}$

$a',b',a'',b''$ étant des constantes arbitraires : on aura ainsi le mouvement absolu de ${\rm {M}}$ dans l’espace, lorsque les mouvements relatifs de $m,m',m'',\ldots$ autour de lui seront connus.

Si l’on multiplie l’équation différentielle en $x$ par

$-my+m{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

et l’équation différentielle en y par

$mx-m{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\,;$

si l’on multiplie pareillement l’équation différentielle en $x'$ par

$-m'y'+m'{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$