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dans l’ellipse variable, puisqu’elle est différentielle du premier ordre. En la différentiant, on aura $d^{2}\zeta =dndt\,;$ or on a

$dn={\frac {3an}{2\mu }}d{\frac {\mu }{a}}={\frac {3and{\rm {R}}}{\mu }},$

partant

$d^{2}\zeta ={\frac {3andtd{\rm {R}}}{\mu }},$

et, en intégrant,

$\zeta ={\frac {3}{\mu }}\iint andtd{\rm {R}}.$

Enfin, on a vu, dans le n^o 18, que les intégrales (p) n’équivalent qu’à cinq intégrales distinctes, et qu’elles donnent entre les sept paramètres $c,c',c'',f,f',f''$ et $e$ les deux équations de condition

${\begin{aligned}0&=fc''-f'c'+f''c,\\0&={\frac {\mu }{a}}+{\frac {f^{2}+f'^{2}+f''^{2}-\mu ^{2}}{c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}}\,;\end{aligned}}$

ces équations ont donc encore lieu dans le cas de l’ellipse variable, pourvu que les paramètres soient déterminés par ce qui précède. On peut d’ailleurs s’en assurer facilement a posteriori.

Nous venons de déterminer cinq éléments de l’orbite troublée, savoir, son inclinaison, la position de ses nœuds, son demi-grand axe qui donne son moyen mouvement, son excentricité, et la position du périhélie. Il nous reste à déterminer le sixième élément du mouvement elliptique, celui qui, dans l’ellipse non troublée, répond à la position de $m$ à u«e époque donnée. Pour cela, reprenons l’expression de $dt$ du n^o 16,

${\frac {dt{\sqrt {\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}={\frac {dv\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}.$

Cette équation, développée en série, nous a donné, dans le numéro cité,

$ndt=dv\left[1+{\rm {E}}^{(1)}\cos(v-\varpi )+{\rm {E}}^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\ldots \right].$