posons que les corps soient forcés de se mouvoir sur des courbes qu’ils puissent décrire en vertu des mêmes conditions. Alors ces forces se décomposeront en d’autres, les unes dirigées suivant les droites et qui se détruiront mutuellement sans produire d’action sur les courbes décrites ; les autres perpendiculaires aux courbes décrites ; les autres, enfin, tangentielles à ces courbes, et en vertu desquelles le système sera mû. Mais il est aisé de voir que ces dernières forces doivent être nulles ; car, le système étant supposé leur obéir librement, elles ne peuvent produire ni pression sur les courbes décrites, ni réaction des corps les uns sur les autres ; elles ne peuvent donc pas faire équilibre aux forces il faut donc qu’elles soient nulles, et que le système soit en équilibre en vertu des seules forces Soient les variations des directions des forces on aura, en vertu de l’équation ()
mais le système étant supposé en équilibre en vertu des seules forces sans qu’il en résulte aucune action sur les courbes décrites, l’équation () donne encore partant
Si l’on assujettit les variations des coordonnées à satisfaire aux courbes décrites, on a on a donc alors
et, comme les courbes décrites sont elles-mêmes arbitraires et ne sont assujetties qu’aux conditions de la liaison des parties du système, l’équation précédente a lieu, pourvu que ces conditions soient remplies, et alors l’équation se change dans l’équation (). Cette équation est la traduction analytique du principe suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles.
