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dans le cas de $\alpha =0$ ; or on a, en vertu de l’équation proposée aux différences partielles,

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \alpha }}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\,;$

on aura donc

(k)

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}={\frac {\partial .\int zdu}{\partial t}}.$

En différentiant cette équation par rapport à $\alpha ,$ on aura

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}.\int zdu}{\partial \alpha \partial t}}\,;$

or l’équation (k) donne, en y changeant $u$ en $\int zdu,$

${\frac {\partial .\int zdu}{\partial \alpha }}={\frac {\partial .\int z^{2}du}{\partial t}}\,;$

partant,

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha ^{2}}}={\frac {\partial ^{2}.\int z^{2}du}{\partial t^{2}}}.$

En différentiant encore par rapport à $\alpha ,$ on aura

${\frac {\partial ^{3}u}{\partial \alpha ^{3}}}={\frac {\partial ^{3}.\int z^{2}du}{\partial \alpha \partial t^{2}}}\,;$

or l’équation (k) donne, en y changeant $u$ en $\int z^{2}du,$

${\frac {\partial .\int z^{2}du}{\partial \alpha }}={\frac {\partial .\int z^{3}du}{\partial t}}\,;$

partant,

${\frac {\partial ^{3}u}{\partial \alpha ^{3}}}={\frac {\partial ^{3}.\int z^{3}du}{\partial t^{3}}}.$

En suivant ce procédé, il est aisé d’en conclure généralement

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n}.\int z^{n}du}{\partial t^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\frac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}.$

Supposons maintenant qu’en faisant $\alpha =0$ on ait $x=\mathrm {T,\ T}$ étant