Après avoir donné les équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, et après en avoir déterminé les seules intégrales exactes que l’on ait pu obtenir jusqu’à présent, il nous reste à intégrer ces équations par des approximations successives. Dans le système solaire, les corps célestes se meuvent à peu près comme s’ils n’obéissaient qu’à la force principale qui les anime, et les forces perturbatrices sont peu considérables ; on peut donc, dans une première approximation, ne considérer que l’action mutuelle de deux corps, savoir, celle d’une planète ou d’une comète et du Soleil dans la théorie des planètes et des comètes, et l’action mutuelle d’un satellite et de sa planète dans la théorie des satellites. Nous commencerons ainsi par donner une détermination rigoureuse du mouvement de deux corps qui s’attirent : cette première approximation nous conduira à une seconde dans laquelle nous aurons égard à la première puissance des forces perturbatrices ; ensuite nous considérerons les carrés et les produits de ces forces ; en continuant ainsi, nous déterminerons les mouvements célestes avec toute la précision que les observations comportent.
