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projection que de quantités du même ordre ; cet angle peut donc être supposé égal à $v,$ et l’on a, aux quantités près du même ordre,

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,$

d’où l’on tire

$x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}},$

et par conséquent $r\mathrm {R} '=r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$ Il est facile de s’assurer par la différentiation que, si l’on néglige le carré de la force perturbatrice, l’équation différentielle précédente donnera, en vertu des deux premières des équations (P),

$r\delta r={\frac {x\int ydt\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)-y\int xdt\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)}{\frac {xdy-ydx}{dt}}}.$

Dans le second membre de cette équation ; les coordonnées peuvent se rapporter au mouvement elliptique, ce qui donne ${\frac {xdy-ydx}{dt}}$ constant et égal, par le n^o 19, à ${\sqrt {\mu a(1-e^{2})}},\ ae$ étant l’excentricité de l’orbite de $m.$ Si l’on substitue dans l’expression de $r\delta r,$ au lieu de $x$ et de $y,$ leurs valeurs $r\cos v$ et $r\sin v,$ et, au lieu de ${\frac {xdy-ydx}{dt}},$ la quantité ${\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,;$ enfin, si l’on observe que, par le n^o 20, $\mu =n^{2}a^{3},$ on aura

(X)$\quad \delta r=$

${\frac {a\cos v\int ndtr\sin v\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)-a\sin v\int ndtr\cos v\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

L’équation (T) donne, en l’intégrant et en négligeant le carré des forces perturbatrices.

(Y)

$\delta v={\frac {{\frac {2rd\delta r+dr\delta r}{a^{2}ndt}}+{\frac {3a}{\mu }}\iint ndtd{\rm {R}}+{\frac {2a}{\mu }}\int ndtr{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}}{\sqrt {1-e^{2}}}}\,;$

cette expression donnera facilement les perturbations du mouvement de $m$ en longitude, lorsque celles du rayon vecteur seront déterminées.