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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.
en faisant donc
égal à l’angle droit, ce qui rend l’axe des
perpendiculaire à celui des
on aura
Les moments d’inertie relatifs à tous les axes situés dans le plan perpendiculaire à l’axe des
sont donc alors égaux entre eux. Mais il est facile de s’assurer que l’on a dans ce cas, pour le système de l’axe des
et de deux axes quelconques perpendiculaires entre eux et à cet axe,
![{\displaystyle \mathrm {S} \,y'z''dm=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5629036d05b9bfab8a21b779e9c20dc44a10425a)
car, en désignant par
et
les coordonnées d’une molécule
du corps, rapportées aux deux axes principaux, pris dans le plan perpendiculaire à l’axe des
et par rapport auxquels les moments d’inertie sont supposés égaux, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {S} \,\left(x''^{2}+z''^{2}\right)dm=\mathrm {S} \,\left(y''^{2}+z''^{2}\right)dm,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edba75b6bae69b1b262c5a058407a214515d43b)
ou simplement
![{\displaystyle \mathrm {S} \,x''^{2}\,dm=\mathrm {S} \,y''^{2}\,dm\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cbd7a10e0ec8b75da645d79ca64908f272d444)
mais, en nommant
l’angle que l’axe des
fait avec l’axe des
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x''\cos \epsilon +y''\sin \epsilon ,\\y'&=y''\cos \epsilon -x''\sin \epsilon \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f122c4235ec38835c3a0e8fb5aa903aeb26114bf)
on a donc
![{\displaystyle \mathrm {S} \,x'y'dm=\mathrm {S} \,x''y''dm\cdot \left(\cos ^{2}\epsilon -\sin ^{2}\epsilon \right)+\mathrm {S} \,\left(y''^{2}-x''^{2}\right)dm\cdot \sin \epsilon \cos \epsilon =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c0de5f08cc145b90879a28629f297a1b04fb6f)
On trouvera semblablement
![{\displaystyle \mathrm {S} \,x'z''dm=0,\qquad \mathrm {S} \,y'z''dm=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320fa35418058cbc7226d2e158cc83bdd7a53277)
tous les axes perpendiculaires à celui des
sont donc alors des axes principaux, et, dans ce cas, le solide a une infinité d’axes semblables.
Si l’on a à la fois
on aura généralement
c’est-à-dire que tous les moments d’inertie du solide sont égaux ; mais alors on a généralement
![{\displaystyle \mathrm {S} \,x'y'dm=0,\qquad \mathrm {S} \,x'z'dm=0,\qquad \mathrm {S} \,y'z'dm=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700bd942cbef16357fe5d1847b2a930d1f740459)
quelle que soit la position du plan des
et des
en sorte que tous