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racines imaginaires, quelques-uns des sinus et des cosinus des expressions de $h,l,h',l',\ldots$ se changeraient en exponentielles ; ainsi l’expression de $h$ contiendrait un nombre fini de termes de la forme ${\rm {P}}c^{ft},\ c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et ${\rm {P}}$ étant une quantité réelle, puisque $h$ ou $e\sin \varpi$ est une quantité réelle. Soient ${\rm {Q}}c^{ft},{\rm {P'}}c^{ft},{\rm {Q'}}c^{ft},{\rm {P''}}c^{ft},\ldots$ les termes correspondants de $l,h',l',h'',\ldots \,;\ {\rm {Q,P',Q',P'',\ldots }}$ étant encore des quantités réelles : l’expression de $e^{2}$ renfermera le terme $\left({\rm {P^{2}+Q^{2}}}\right)c^{2ft}\,;$ l’expression de $e'^{2}$ renfermera le terme $\left({\rm {P'^{2}+Q'^{2}}}\right)c^{2ft},$ et ainsi de suite ; le premier membre de l’équation (u) renfermera donc le terme

$\left[\left({\rm {P^{2}+Q^{2}}}\right)m{\sqrt {a}}+\left({\rm {P'^{2}+Q'^{2}}}\right)m'{\sqrt {a'}}+\left({\rm {P''^{2}+Q''^{2}}}\right)m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right]c^{2ft}.$

Si l’on suppose que $c^{ft}$ soit la plus grande des exponentielles que contiennent $h,l,h',l',\ldots$ c’est-à-dire celle dans laquelle $f$ est le plus considérable, $c^{2ft}$ sera la plus grande des exponentielles que renfermera le premier membre de l’équation précédente ; le terme précédent ne pourra donc être détruit par aucun autre terme de ce premier membre ; ainsi, pour que ce membre se réduise à une constante, il faut que le coefficient de $c^{2ft}$ soit nul, ce qui donne

$0=\left({\rm {P^{2}+Q^{2}}}\right)m{\sqrt {a}}+\left({\rm {P'^{2}+Q'^{2}}}\right)m'{\sqrt {a'}}+\left({\rm {P''^{2}+Q''^{2}}}\right)m''{\sqrt {a''}}+\ldots$

Lorsque ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},\ldots$ ont le même signe, ou, ce qui revient au même, lorsque les corps $m,m',m'',\ldots$ circulent dans le même sens, cette équation est impossible, à moins que l’on ne suppose ${\rm {P=0,Q=0,P'=0,\ldots \,;}}$ d’où il suit que les quantités $h,l,h',l',\ldots$ ne renferment point d’exponentielles, et qu’ainsi l’équation en $g$ ne contient point de racines imaginaires.

Si cette équation avait des racines égales, les expressions de $h,l,h',l',\ldots$ renfermeraient, comme l’on sait, des arcs de cercle, et l’on aurait dans l’expression de $h$ un nombre fini de termes de la forme ${\rm {P}}t^{r}.$ Soient ${\rm {Q}}t^{r},{\rm {P}}'t^{r},{\rm {Q}}'t^{r},\ldots$ les termes correspondants de $l,h',l',\ldots ,\ {\rm {P,Q,P',}}$${\rm {Q',\ldots }}$ étant des quantités réelles ; le premier membre de l’équation (u)