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MÉCANIQUE CÉLESTE.
elle sera donc encore, à ce nouvel instant, une variation exacte, si
est une variation exacte au premier instant ; or l’équation (H) donne à cet instant
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92deeba9d6f5dc60333d6c704208e72f50e1bec0)
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\delta \left[\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fff6ba10bf0501fed09f75c3bd875e0db79de7)
le premier membre de cette équation est par conséquent une variation exacte en
ainsi la fonction
est une variation exacte dans l’instant suivant, si elle l’est dans un instant ; elle est donc alors une variation exacte à tous les instants.
Lorsque les mouvements sont très-petits, on peut négliger les carrés et les produits de
et
l’équation (H) devient alors
![{\displaystyle \delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}={\frac {\partial u}{\partial t}}\delta x+{\frac {\partial v}{\partial t}}\delta y+{\frac {\partial w}{\partial t}}\delta z=\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e999af6471ab6871a6341d74eefda19c5854f7f)
ainsi, dans ce cas,
est une variation exacte, si, comme nous le supposons,
est fonction de
; en nommant donc encore
cette différence, on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} -\int {\frac {\delta p}{\rho }}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672b413ae12b0fc59ce3ebce0ecde31e7a858abf)
et, si le fluide est homogène, l’équation de continuité deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8bb8836f1efed277e9105c1732bb3f720e321a)
Ces deux équations renferment toute la théorie des ondulations très-petites des fluides homogènes.
34. Considérons une masse fluide homogène douée d’un mouvement uniforme de rotation autour de l’axe des
Soit
la vitesse angulaire de rotation, à une distance de l’axe que nous prendrons pour unité de distance ; on aura
l’équation (H) du numéro précédent deviendra ainsi
![{\displaystyle {\frac {\delta p}{\rho }}=\delta \mathrm {V} +n^{2}(y\delta y+z\delta z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95206cea6c5835e8fac9d0cc8ee6b1e76813df7)