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Ainsi la valeur de $\varpi$ sera toujours très-petite, et les équations séculaires des moyens mouvements des trois premiers satellites seront toujours coordonnées par l’action mutuelle de ces astres, de manière que l’équation séculaire du premier, plus deux fois celle du troisième, soit égale à trois fois celle du second.

Les théorèmes précédents donnent entre les six constantes $n,n',n'',$$\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon ''$ deux équations de condition, qui réduisent ces arbitraires à quatre ; mais les deux arbitraires $\lambda$ et $\gamma$ de la valeur de $\varpi$ les remplacent. Cette valeur se distribue entre les trois satellites, de manière qu'en nommant $p,p',p''$ les coefficients de $\sin \left(nt{\sqrt {\text{ϐ}}}+\gamma \right)$ dans les expressions de $v,v',v'',$ ces coefficients sont dans le rapport des valeurs précédentes de ${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}},{\frac {d^{2}\zeta '}{d^{2}t}}$ et ${\frac {d^{2}\zeta ''}{dt^{2}}}$ et de plus on a $p-3p'+2p''=\lambda .$ De là résulte, dans les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter, une inégalité qui ne diffère pour chacun d’eux que par son coefficient, et qui forme dans ces mouvements une espèce de libration dont l’étendue est arbitraire. Les observations ont fait voir qu’elle est insensible.

67. Considérons présentement les variations des excentricités et des périhélies des orbites. Pour cela, reprenons les expressions de $\operatorname {f} ,\operatorname {f} ',\operatorname {f} '',$ trouvées dans le n^o 64; en nommant $r$ le rayon vecteur de $m,$ projeté sur le plan des $x$ et des $y,\ v$ l’angle que cette projection fait avec l’axe des $x,$ et $s$ la tangente de la latitude de $m$ au-dessus du même plan, on aura

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad z=rs,$

d’où il est facile de conclure

${\begin{aligned}x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}&=y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}},\\\\x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}&=\left(1+s^{2}\right)\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}-rs\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}+s\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}},\\\\y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}&=\left(1+s^{2}\right)\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}-rs\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}-s\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}.\end{aligned}}$