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sur ce point parallèlement à une droite quelconque, il faut donc considérer ${\rm {V}}$ comme fonction de trois coordonnées rectangles, dont l’une soit parallèle à cette droite, et différentier cette fonction relativement à cette coordonnée ; le coefficient de cette différentielle, pris avec un signe contraire, sera l’expression de l’attraction du sphéroïde parallèlement à la droite donnée, et dirigée vers l’origine de la coordonnée qui lui est parallèle.

Si l’on représente par ${\text{ϐ}}$ la fonction $\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},$ on aura

$\mathrm {V} =\int {\text{ϐ}}\rho dx'dy'dz'.$

L’intégration n’étant relative qu’aux variables $x',y',z'$ il est clair que l’on aura

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dz^{2}}}=\int \rho dx'dy'dz'\left({\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial z^{2}}}\right)\,;$

mais on a

$0={\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\text{ϐ}}}{\partial z^{2}}}\,;$

mais on a on aura donc pareillement

(A)

$0={\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dz^{2}}}\,;$

cette équation remarquable nous sera de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes. On peut lui donner d’autres formes plus commodes dans diverses circonstances ; concevons, par exemple, que de l’origine des coordonnées on mène au point attiré un rayon, que nous nommerons $r$ ; soit $\theta$ l’angle que ce rayon fait avec l’axe des $x$, et $\varpi$ l’angle que le plan formé par $r$ et par cet axe fait avec le plan des $x$ et des $y$ ; on aura

$x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta \cos \varpi ,\qquad z=r\sin \theta \sin \varpi ,$

d’où l’on tire

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\qquad \operatorname {tang} \varpi ={\frac {z}{y}}.$