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sition ; la quantité $xx'+yy'+zz'$ n’en dépend donc pas, et par conséquent la fonction ${\rm {R}}$ en est indépendante. Supposons dans cette fonction

${\begin{alignedat}{2}x\,\ &=r\cos v,&\qquad y\ \,&=r\sin v,\\x'&=r'\cos v',&\qquad y'&=r'\sin v'\,;\end{alignedat}}$

on aura

$\mathrm {R} ={\frac {m'\left[rr'\cos(v'-v)+zz'\right]}{\left(r'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {m'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$

Les orbes des planètes étant presque circulaires et peu inclinés les uns aux autres, on peut choisir le plan des $x$ et des $y$ de manière que $z$ et $z'$ soient très-petits. Dans ce cas, $r$ et $r'$ diffèrent très-peu des demi-grands axes $a$ et $a'$ des orbes elliptiques ; nous supposerons donc

$r=a(1+u_{\text{ı}}),\qquad r'=a'(1+u'_{\text{ı}}).$

$u_{\text{ı}}$ et $u'_{\text{ı}}$ étant des petites quantités. Les angles $v$ et $v'$ différant peu des longitudes moyennes $nt+\varepsilon$ et $n't+\varepsilon ',$ nous supposerons

$v=nt+\varepsilon +v_{\text{ı}},\qquad v'=n't+\varepsilon '+v'_{\text{ı}},$

$v_{\text{ı}}$ et $v'_{\text{ı}}$ étant des angles peu considérables. Ainsi, en réduisant ${\rm {R}}$ dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $u_{\text{ı}},v_{\text{ı}},z,u'_{\text{ı}},v'_{\text{ı}}$ et $z',$ cette série sera fort convergente. Soit

${\frac {a}{a'^{2}}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}$

$={\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(0)}+\mathrm {A} ^{(1)}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\mathrm {A} ^{(2)}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$

$+\mathrm {A} ^{(3)}\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\ldots \,;$

on peut donner à cette série la forme

${\frac {1}{2}}\Sigma \mathrm {A} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$

la caractéristique $\Sigma$ des intégrales finies étant relative au nombre $i,$ et devant s’étendre à tous les nombres entiers, depuis $i=-\infty$ jusqu’à $i=\infty ,$ la valeur $i=0$ étant comprise dans ce nombre infini de valeurs ; mais alors il faut observer que $A^{(-i)}=A^{(i)}.$ Cette forme a l’avan-