sition ; la quantité
n’en dépend donc pas, et par conséquent la fonction
en est indépendante. Supposons dans cette fonction
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\,\ &=r\cos v,&\qquad y\ \,&=r\sin v,\\x'&=r'\cos v',&\qquad y'&=r'\sin v'\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a95d1f5f4d73b398d79752356b17b5db740e73)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {m'\left[rr'\cos(v'-v)+zz'\right]}{\left(r'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {m'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9119653aebf14616bded90f30ef5a53691ec9c16)
Les orbes des planètes étant presque circulaires et peu inclinés les uns aux autres, on peut choisir le plan des
et des
de manière que
et
soient très-petits. Dans ce cas,
et
diffèrent très-peu des demi-grands axes
et
des orbes elliptiques ; nous supposerons donc
![{\displaystyle r=a(1+u_{\text{ı}}),\qquad r'=a'(1+u'_{\text{ı}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acc3ec6ae9af043f61df39b19141e7671da57ef)
et
étant des petites quantités. Les angles
et
différant peu des longitudes moyennes
et
nous supposerons
![{\displaystyle v=nt+\varepsilon +v_{\text{ı}},\qquad v'=n't+\varepsilon '+v'_{\text{ı}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89eae0ef892600047b2d075f330091e20747e9c)
et
étant des angles peu considérables. Ainsi, en réduisant
dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de
et
cette série sera fort convergente. Soit
![{\displaystyle {\frac {a}{a'^{2}}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2029b5aecc59d1245af666655cf645dd8493b46d)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(0)}+\mathrm {A} ^{(1)}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\mathrm {A} ^{(2)}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed244ff8c2799abd8f0b6eed31690322728b0a05)
![{\displaystyle +\mathrm {A} ^{(3)}\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b54461cd9989e14417dfb8197b37c275631dbb)
on peut donner à cette série la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\Sigma \mathrm {A} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c14f1ff245002ba428bab62f8faa140692db45d)
la caractéristique
des intégrales finies étant relative au nombre
et devant s’étendre à tous les nombres entiers, depuis
jusqu’à
la valeur
étant comprise dans ce nombre infini de valeurs ; mais alors il faut observer que
Cette forme a l’avan-