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pour l’action de $m''$ sur $m$, décomposée parallèlement à l’axe des $x$, et ainsi du reste. Soit donc

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {mm''}{\sqrt {(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}+(z''-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {m'm''}{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}}+\ldots \end{aligned}}$

$\lambda$ étant ainsi la somme des produits deux à deux des masses $m,m',m'',\ldots$ divisés par leurs distances respectives ; ${\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}$ exprimera la somme des actions des corps $m',m'',\ldots$ sur $m$, décomposées parallèlement à l’axe des $x$, en sens contraire de l’origine des coordonnées. En désignant donc par $dt$ l’élément du temps, supposé constant, on aura, par les principes de Dynamique exposés dans le Livre précédent,

$0=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}.$

On aura pareillement

${\begin{aligned}&0=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\\\\&0=m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.\end{aligned}}$

Si l’on considère de la même manière l’action des corps $m,m'',\ldots$ sur $m'\,;$ celle des corps $m,m',\ldots$ sur $m'',$ et ainsi du reste, on aura les équations

${\begin{alignedat}{3}0&=m'{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}},&\qquad 0&=m{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}},&\qquad 0&=m{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z'}},\\\\0&=m''{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial x''}},&\quad 0&=m{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial y''}},&\quad 0&=m{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}-{\frac {\partial \lambda }{\partial z''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

La détermination des mouvements de $m,m',m'',\ldots$ dépend de l’intégration de ces équations différentielles ; mais il n’a été possible jus-