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tion des paramètres, puisque les coordonnées $x,y,z,$ relatives à la fin du premier instant, sont les mêmes pour ces deux ellipses ; ainsi, la fonction ${\rm {V}}$ étant nulle, on a

(i’)

$0={\frac {\partial V}{\partial c}}dc+{\frac {\partial V}{\partial c'}}dc'+\ldots$

Cette équation peut se déduire encore de l’équation ${\rm {V=0,}}$ en y faisant varier à la fois $x,y,z,c,c',\ldots$ ; car, si l’on retranche l’équation (i) de cette différentielle, on aura l’équation (i’).

En différentiant l’équation (i), on aura une nouvelle équation en $dc,dc',\ldots ,$ qui, avec l’équation (i’), servira à déterminer les paramètres $c,c',\ldots .$ C’est ainsi que les géomètres qui se sont occupés les premiers de la théorie des perturbations célestes ont déterminé les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites ; mais on peut simplifier cette différentiation de la manière suivante.

Considérons généralement l’équation différentielle du premier ordre ${\rm {V'=0,}}$ équation qui, comme on vient de le voir, convient également à l’ellipse variable et à l’ellipse invariable qui, dans l’instant $dt,$ coïncide avec elle. Dans l’instant suivant, cette équation convient encore aux deux ellipses, mais avec cette différence, que $c,c',\ldots$ restent les mêmes dans le cas de l’ellipse invariable, au lieu qu’ils changent avec l’ellipse variable. Soit ${\rm {V''}}$ ce que devient ${\rm {V}}$ lorsque l’ellipse est supposée invariable ; soit ${\rm {V'}}$ ce que devient cette même fonction dans le cas de l’ellipse variable. Il est clair que, pour avoir ${\rm {V'',}}$ il faut changer, dans ${\rm {V'}}$ les coordonnées $x,y,z,$ qui sont relatives au commencement du premier instant $dt,$ dans celles qui sont relatives au commencement du second instant ; il faut ensuite augmenter les différences premières $dx,dy,dz$ respectivement des quantités $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ relatives à l’ellipse invariable, l’élément $dt$ du temps étant supposé constant. Pareillement, pour avoir ${\rm {V',}}$ il faut changer dans ${\rm {V'}}$ les coordonnées $x,y,z$ dans celles qui sont relatives au commencement du second instant, et qui sont encore les mêmes dans les deux ellipses ; il faut ensuite augmenter $dx,dy,dz$ respectivement des quantités $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z$ ; enfin, il faut changer les paramètres $c,c',\ldots$ dans $c+dc,c'+dc',\ldots ,$