Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/338

$f_{\text{ı}}$ et $f'_{\text{ı}}$ étant deux arbitraires. L’expression de $\delta r$ en $\delta u,$ trouvée dans le n^o 47, donnera

${\frac {\partial r}{a}}=-2m'ag-{\frac {m'}{2}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}$

$+{\frac {m'}{2}}n^{2}\Sigma {\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$

${\begin{aligned}&-m'fe\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-m'f'e'\cos(nt+\varepsilon -\varpi ')\\&+{\frac {m'}{2}}{\rm {C}}nte\sin(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {1}{2}}m'{\rm {D}}nte'\sin(nt+\varepsilon -\varpi ')\\&+m'n^{2}\Sigma \left\{{\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}-{\frac {{\rm {C}}^{i}}{\left[i(n-n')-n\right]^{2}-n^{2}}}\right\}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&-m'n^{2}\Sigma {\frac {{\rm {D}}^{i}}{\left[i(n-n')-n\right]^{2}-n^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right],\end{aligned}}$

$f$ et $f'$ étant des arbitraires dépendantes de $f_{\text{ı}}$ et $f'_{\text{ı}}$.

Cette valeur de $\delta r,$ substituée dans la formule (Y) du n^o 46, donnera $\delta v$ ou les perturbations du mouvement de la planète en longitude ; mais on doit observer que, $nt$ exprimant le moyen mouvement de $m,$ le terme proportionnel au temps $t$ doit disparaître de l’expression de $\delta v.$ Cette condition détermine la constante $g,$ et l’on trouve

$g=-{\frac {1}{3}}a{\frac {\partial A^{(0)}}{\partial a}}.$

Nous aurions pu nous dispenser d’introduire dans la valeur de $\delta r$ les arbitraires $f_{\text{ı}}$ et $f'_{\text{ı}}$ puisqu’elles peuvent être censées comprises dans les éléments $e$ et $\varpi$ du mouvement elliptique ; mais alors l’expression de $\delta v$ aurait renfermé des termes dépendants de l’anomalie moyenne, et qui n’auraient point été compris dans ceux que donne le mouvement elliptique : or il est plus commode de faire disparaître ces termes de l’expression de la longitude, pour les introduire dans l’expression du rayon vecteur ; nous déterminerons ainsi $f_{\text{ı}}$ et $f'_{\text{ı}}$ de manière à remplir cette condition. Cela posé, si l’on substitue au lieu de $a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a'}}$ sa