et
étant deux arbitraires. L’expression de
en
trouvée dans le no 47, donnera
![{\displaystyle {\frac {\partial r}{a}}=-2m'ag-{\frac {m'}{2}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6bd2bbe012ad2aa668add708d6f83f4ef56e8d3)
![{\displaystyle +{\frac {m'}{2}}n^{2}\Sigma {\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503173d4ba529f197161edcd69da52a410fd439e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-m'fe\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-m'f'e'\cos(nt+\varepsilon -\varpi ')\\&+{\frac {m'}{2}}{\rm {C}}nte\sin(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {1}{2}}m'{\rm {D}}nte'\sin(nt+\varepsilon -\varpi ')\\&+m'n^{2}\Sigma \left\{{\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}-{\frac {{\rm {C}}^{i}}{\left[i(n-n')-n\right]^{2}-n^{2}}}\right\}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\&-m'n^{2}\Sigma {\frac {{\rm {D}}^{i}}{\left[i(n-n')-n\right]^{2}-n^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3420967c399b6955990cf398384f21dbee28fda8)
et
étant des arbitraires dépendantes de
et
.
Cette valeur de
substituée dans la formule (Y) du no 46, donnera
ou les perturbations du mouvement de la planète en longitude ; mais on doit observer que,
exprimant le moyen mouvement de
le terme proportionnel au temps
doit disparaître de l’expression de
Cette condition détermine la constante
et l’on trouve
![{\displaystyle g=-{\frac {1}{3}}a{\frac {\partial A^{(0)}}{\partial a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cee9441bcc22887cae765cfa76929bf6ddf39b)
Nous aurions pu nous dispenser d’introduire dans la valeur de
les arbitraires
et
puisqu’elles peuvent être censées comprises dans les éléments
et
du mouvement elliptique ; mais alors l’expression de
aurait renfermé des termes dépendants de l’anomalie moyenne, et qui n’auraient point été compris dans ceux que donne le mouvement elliptique : or il est plus commode de faire disparaître ces termes de l’expression de la longitude, pour les introduire dans l’expression du rayon vecteur ; nous déterminerons ainsi
et
de manière à remplir cette condition. Cela posé, si l’on substitue au lieu de
sa