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cette formule, les valeurs de $b_{s+1}^{(0)},b_{s+1}^{(1)},b_{s+1}^{(2)},\ldots$ lorsque celles de $b_{s}^{(0)},b_{s}^{(1)},b_{s}^{(2)},\ldots$ seront connues.

Nommons, pour abréger, $\lambda$ la fonction $1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}.$ Si l’on différentie, par rapport à $\alpha ,$ l’équation

$\lambda ^{-s}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots .$

on aura

$-2s(\alpha -\cos \theta )\lambda ^{-s-1}={\frac {1}{2}}{\frac {db_{s}^{(0)}}{d\alpha }}+{\frac {db_{s}^{(1)}}{d\alpha }}\cos \theta +{\frac {db_{s}^{(2)}}{d\alpha }}\cos 2\theta +\ldots \,;$

mais on a

$-\alpha +\cos \theta ={\frac {1-\alpha ^{2}-\lambda }{2\alpha }}\,;$

on aura donc

${\frac {s\left(1-\alpha ^{2}\right)}{\alpha }}\lambda ^{-s-1}-{\frac {s\lambda ^{-s}}{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}={\frac {s\left(1-\alpha ^{2}\right)}{\alpha }}b_{s+1}^{(i)}-{\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}\cos \theta +\ldots ,$

d’où l’on tire généralement

${\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}={\frac {s\left(1-\alpha ^{2}\right)}{\alpha }}b_{s+1}^{(i)}-{\frac {sb_{s}^{(i)}}{d\alpha }}.$

En substituant au lieu de $b_{s+1}^{(i)}$ sa valeur donnée par la formule (b), on aura

${\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}b_{s}^{(i)}-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}b_{s}^{(i+1)}.$

Si l’on différentie cette équation, on aura

${\frac {d^{2}b_{s}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}{\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}+\left({\frac {2(i+s)\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}-{\frac {i}{\alpha ^{2}}}\right)b_{s}^{(i)}$

$-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}{\frac {db_{s}^{(i+1)}}{d\alpha }}-{\frac {4(i-s+1)\alpha }{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}b_{s}^{(i+1)}.$

En différentiant encore, on aura

${\frac {d^{3}b_{s}^{(i)}}{d\alpha ^{3}}}={\frac {i+(i+2s)\alpha ^{2}}{\alpha \left(1-\alpha ^{2}\right)}}{\frac {d^{2}b_{s}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}}+2\left({\frac {2(i+s)\left(1+\alpha ^{2}\right)}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}-{\frac {i}{\alpha ^{2}}}\right){\frac {db_{s}^{(i)}}{d\alpha }}$

$+\left({\frac {4(i+s)\alpha \left(3+\alpha ^{2}\right)}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{3}}}-{\frac {2i}{\alpha ^{3}}}\right)b_{s}^{(i)}$

$-{\frac {2(i-s+1)}{1-\alpha ^{2}}}{\frac {d^{2}b_{s}^{(i+1)}}{d\alpha ^{2}}}-{\frac {8(i-s+1)\alpha }{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}{\frac {db_{s}^{(i+1)}}{d\alpha }}$

$-{\frac {4(i-s+1)\left(1+3\alpha ^{2}\right)}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{3}}}b_{s}^{(i+1)}.$