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Les quantités $(0,\ 1)$ et $(1,\ 0),{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}$ ont entre elles des rapports remarquables qui peuvent en faciliter le calcul, et qui nous seront utiles dans la suite. On a, par ce qui précède,

$(0,\ 1)=-{\frac {3m'na^{2}a'(a,a')'}{4\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}.$

Si, dans cette expression de $(0,\ 1)$ on change $m'$ en $m,\ n$ en $n',\ a$ en $a',$ et réciproquement, on aura l’expression de $(1,\ 0)$ qui sera par conséquent

$(1,\ 0)=-{\frac {3mn'a'^{2}a(a',\ a)'}{4\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}\,;$

mais on a $(a,a')'=(a',a)',$ puisque l’une et l’autre de ces quantités résulte du développement de la fonction $\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ dans une série ordonnée suivant les cosinus de l’angle $\theta$ et de ses multiples ; on aura donc

$(0,\ 1)mn'a'=(1,\ 0)m'na\,;$

or on a, en négligeant les masses $m,m',\ldots$ vis-à-vis de ${\rm {M,}}$

$n^{2}={\frac {\rm {M}}{a^{3}}},\qquad n'^{2}={\frac {\rm {M}}{a'^{3}}},\ldots \,;$

partant

$(0,\ 1)m{\sqrt {a}}=(1,\ 0)m'{\sqrt {a'}},$

équation d’où l’on tirera facilement $(1,\ 0)$ lorsques $(0,\ 1)$ sera déterminé. On trouvera de la même manière

${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}m{\sqrt {a}}={\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}m'{\sqrt {a'}}.$

Ces deux équations subsisteraient encore dans le cas où $n$ et $n'$ auraient des signes contraires, c’est-à-dire si les deux corps $m$ et $m'$ circulaient en différents sens ; mais alors il faudrait donner le signe de $n$ au radical ${\sqrt {a}},$ et le signe de $n'$ au radical $a{\sqrt {a'}}.$