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MÉCANIQUE CÉLESTE.

changent par des nuances insensibles. Si ces mouvements éprouvent des changements brusques, la force vive est diminuée d’une quantité que l’on déterminera de cette manière. L’analyse qui nous a conduits à l’équation (P) du numéro précédent donne alors, au lieu de cette équation, la suivante

$0=\sum m\left({\frac {\delta x}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dx}{dt}}+{\frac {\delta y}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dy}{dt}}+{\frac {\delta z}{dt}}\cdot \Delta {\frac {dz}{dt}}\right)$

$-\sum m\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right),$

$\Delta {\frac {dx}{dt}},\Delta {\frac {dy}{dt}}$ et $\Delta {\frac {dz}{dt}}$ étant les différences de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dz}{dt}}$ d’un instant à l’autre, différences qui deviennent finies lorsque les mouvements des corps reçoivent des altérations finies dans un instant. On peut supposer dans cette équation

$\delta x=dx+\Delta dx,\qquad \delta y=dy+\Delta dy,\qquad \delta z=dz+\Delta dz,$

parce que, les valeurs de $dx,$ $dy,$ $dz$ se changeant, dans l’instant suivant, dans $dx+\Delta \,dx,$ $dy+\Delta \,dy,$ $dz+\Delta \,dz,$ ces valeurs de $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ satisfont aux conditions de la liaison des parties du système ; on aura ainsi

$0=\sum m\left[\left({\frac {dx}{dt}}+\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dx}{dt}}+\left({\frac {dy}{dt}}+\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dy}{dt}}\right.$

$\left.+\left({\frac {dz}{dt}}+\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)\cdot \Delta {\frac {dz}{dt}}\right]$

$-\Sigma m\left[\mathrm {P} \left(dx+\Delta dx\right)+\mathrm {Q} \left(dy+\Delta dy\right)+\mathrm {R} \left(dz+\Delta dz\right)\right].$

Cette équation doit être intégrée comme une équation aux différences finies relative au temps $t,$ dont les variations sont infiniment petites, ainsi que les variations de $x,$ $y,$ $z,$ $x',\cdots$ Désignons par $\sum ,$ les intégrales finies résultant de cette intégration, pour les distinguer des intégrales finies précédentes, relatives à l’ensemble des corps du système. L’intégrale de $m\,\mathrm {P} \,\left(dx+\Delta \,dx\right)$ est visiblement la même que $\int \,m\,\mathrm {P} \,dx\ ;$ on aura donc

$\mathrm {const} =\sum m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$

$+\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\left[\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]$

$-2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).$