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nous fournir le moyen d’en faire disparaître les arcs de cercle hors des signes périodiques.

Donnons à la seconde expression de $y$ la forme suivante

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {R} .$

Puisque nous supposons que $\theta$ disparaît de $y,$ on aura ${\frac {\partial y}{\partial \theta }}=0,$ et par conséquent

$R={\frac {\partial X}{\partial \theta }}+(t-\theta ){\frac {\partial R}{\partial \theta }}.$

En différentiant successivement cette équation, on aura

${\begin{aligned}&2{\frac {\partial R}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}X}{\partial \theta ^{2}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{2}R}{\partial \theta ^{2}}},\\\\&3{\frac {\partial ^{2}R}{\partial \theta ^{2}}}={\frac {\partial ^{3}X}{\partial \theta ^{3}}}+(t-\theta ){\frac {\partial ^{3}R}{\partial \theta ^{3}}},\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’où il est facile de conclure, en éliminant ${\rm {R}}$ et ses différentielles de l’expression précédente de $y,$

$y=\mathrm {X} +(t-\theta ){\frac {\partial X}{\partial \theta }}+{\frac {(t-\theta )^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {(t-\theta )^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{3}X}{\partial \theta ^{3}}}+\ldots$

${\rm {X}}$ est fonction de $t$ et des constantes $c,c',c'',\ldots ,$ et, comme ces constantes sont fonctions de $\theta ,\ {\rm {X}}$ est une fonction de $t$ et de $\theta ,$ que nous pouvons représenter par $\varphi (t,\theta ).$ L’expression de $y$ est, par la formule (i) du n^o 21, le développement de la fonction $\varphi (t,\theta +t-\theta )$ suivant les puissances de $t-\theta$ ; on a donc $y=\varphi (t,\theta )$ ; d’où il suit que l’on aura $y,$ en changeant $\theta$ en $t$ dans ${\rm {{X}.}}$ Le problème se réduit ainsi à déterminer ${\rm {X}}$ en fonction de $t$ et de $\theta ,$ et par conséquent à déterminer $c,c',c'',\ldots$ en fonction de $\theta .$

Pour cela, reprenons l’équation

$y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +(t-\theta )^{3}\mathrm {S} +\ldots$

Puisque la constante $\theta$ est supposée disparaître de cette expression de $y,$