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par le nombre des jours qui séparent la troisième observation de la cinquième, et ainsi de suite. Soient $\delta ^{2}{\text{ϐ}},\delta ^{2}{\text{ϐ}}',\delta ^{2}{\text{ϐ}}'',\ldots$ ces quotients.

On divisera la différence $\delta ^{2}{\text{ϐ}}'-\delta ^{2}{\text{ϐ}}$ par le nombre des jours qui séparent la première observation de la quatrième ; on divisera pareillement $\delta ^{2}{\text{ϐ}}''-\delta ^{2}{\text{ϐ}}'$ par le nombre des jours qui séparent la seconde observation de la cinquième, et ainsi de suite. Soient $\delta ^{3}{\text{ϐ}},\delta ^{3}{\text{ϐ}}',\delta ^{3}{\text{ϐ}}'',\ldots$ ces quotients. On continuera ainsi, jusqu’à ce que l’on parvienne à $\delta ^{n-1}{\text{ϐ}},\ n$ étant le nombre des observations employées.

Cela fait, on prendra une époque moyenne ou à peu près moyenne entre les instants des deux observations extrêmes ; et, en nommant $i,i',i'',i''',\ldots$ le nombre des jours dont elle précède chaque observation, $i,i',i'',\ldots$ devant être supposés négatifs pour les observations antérieures à cette époque, la longitude de la comète, après un petit nombre $z$ de jours comptés depuis l’époque, sera exprimée par la formule suivante :

(p)$\quad \left\{{\begin{aligned}{\text{ϐ}}&-i\delta {\text{ϐ}}+ii'\delta ^{2}{\text{ϐ}}-ii'i''\delta ^{3}{\text{ϐ}}+\ldots \\&+z\left[\delta {\text{ϐ}}-(i+i')\delta ^{2}{\text{ϐ}}+(ii'+ii''+i'i'')\delta ^{3}{\text{ϐ}}\right.\\&\qquad \qquad \left.-(ii'i''+ii'i'''+ii''i'''+i'i''i''')\delta ^{4}{\text{ϐ}}+\ldots \right]\\&+z^{2}\left[\delta ^{2}{\text{ϐ}}-(i+i'+i'')\delta ^{3}{\text{ϐ}}\right.\\&\qquad \qquad \left.+(ii'+ii''+ii'''+i'i''+i'i'''+i''i''')\delta ^{4}{\text{ϐ}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right.$

Les coefficients de $-\delta {\text{ϐ}},-\delta ^{2}{\text{ϐ}},-\delta ^{3}{\text{ϐ}},\ldots$ dans la partie indépendante de $z,$ sont : 1^o le nombre $i$ ; 2^o le produit des deux nombres $i$ et $i'\,;$ 3^o le produit des trois nombres $i,i',i'',$ etc.

Les coefficients de $-\delta ^{2}{\text{ϐ}},-\delta ^{3}{\text{ϐ}},-\delta ^{4}{\text{ϐ}},\ldots$ dans la partie multipliée par $z$, sont : 1^o la somme des deux nombres $i$ et $i'$ ; 2^o la somme des produits deux à deux des trois nombres $i,i',i''\,;$ 3^o la somme des produits trois à trois des quatre nombres $i,i',i'',i'''$, etc.

Les coefficients de $-\delta ^{3}{\text{ϐ}},-\delta ^{4}{\text{ϐ}},-\delta ^{5}{\text{ϐ}},\ldots$ dans la partie multipliée par $z^{2},$ sont : 1^o la somme des trois nombres $i,i',i''$ ; 2^o la somme des produits deux à deux des quatre nombres $i,i',i'',i'''$ ; 3^o la somme des produits trois à trois des cinq nombres $i,i',i'',i''',i^{iv},$ etc.

Au lieu de former ces produits, il est aussi simple de développer la fonction

$\delta {\text{ϐ}}+(z-i)\delta {\text{ϐ}}+(z-i)(z-i')\delta ^{2}{\text{ϐ}}+(z-i)(z-i')(z-i'')\delta ^{3}{\text{ϐ}}+\ldots ,$