Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/190

On pourra ainsi avoir les différences partielles de $r,\theta$ et $\varpi$ relativement aux variables $x,y,z,$ et l’on en conclura les valeurs de ${\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}$ en différences partielles de ${\rm {V}}$ relatives aux variables $r,\theta$ et $\varpi .$ Comme nous ferons souvent usage de ces transformations des différences partielles, il est utile d’en rappeler ici le principe. En considérant ${\rm {V}}$ comme fonction des variables $x,y,z,$ et ensuite des variables $r,\theta$ et $\varpi$ on a

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}.$

Pour avoir les différences partielles ${\frac {\partial r}{\partial x}},{\frac {\partial \theta }{\partial x}},{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}$ il ne faut faire varier que $x$ dans les expressions précédentes de $r,\cos \theta$ et $\operatorname {tang} \varpi \,;$ en différentiant donc ces expressions, on aura

${\frac {\partial r}{\partial x}}=\cos \theta ,\qquad {\frac {\partial \theta }{\partial x}}=-{\frac {\sin \theta }{r}},\qquad {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=0.$

ce qui donne

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}=\cos \theta {\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}-{\frac {\sin \theta }{r}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}.$

On aura donc ainsi la différence partielle ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},$ en différences partielles de la fonction $\mathrm {V} ,$ prises par rapport aux variables $r,\theta$ et $\varpi .$ En différentiant de nouveau cette valeur de ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},$ on aura la différentielle partielle ${\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}},$ en différences partielles de $\mathrm {V} ,$ prises par rapport aux variables $r,\theta$ et $\varpi .$ On aura, par le même procédé, les valeurs de ${\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial y^{2}}},$ et ${\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial z^{2}}}.$

On transformera, de cette manière, l’équation (A) dans la suivante

(B)

$0={\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \varpi ^{2}}}{\sin ^{2}\theta }}+r{\frac {\partial ^{2}.r\mathrm {V} }{\partial r^{2}}},$

et, si l’on fait $\cos \theta =\mu ,$ cette équation deviendra

(C)

$0={\frac {\partial ^{2}.\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \mu }}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}.r\mathrm {V} }{\partial r^{2}}}.$