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clure du développement de ${\rm {R}}$ en série, donné dans le n^o 48 : Un argument qui, dans les approximations successives, se trouve pour la première fois parmi les quantités d’un ordre quelconque $r,$ n’est reproduit que par les quantités des ordres $r+2,r+4,\ldots$

Il suit de là que les coefficients des termes de la forme ${\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}$ qui entrent dans les expressions de $r,v$ et $s$, sont approchés jusqu’aux quantités du troisième ordre, c’est-à-dire que l’approximation dans laquelle on aurait égard aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites n’ajouterait rien à leurs valeurs ; elles ont donc toute la précision que l’on peut désirer, ce qu’il est d’autant plus essentiel d’observer, que de ces coefficients dépendent les variations séculaires des orbites.

Les divers termes des perturbations de $r,v,s$ sont compris dans la forme

$k{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}\left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+rnt+r\varepsilon \right]$

$r$ étant un nombre entier positif ou zéro, et $k$ étant une fonction des excentricités et des inclinaisons des orbites de l’ordre $r$ ou d’un ordre supérieur. On peut juger par là de quel ordre est un terme dépendant d’un angle donné.

Il est clair que l’action des corps $m'',m''',\ldots$ ne fait qu’ajouter aux valeurs précédentes de $r,v$ et $s$ des termes analogues à ceux qui résultent de l’action de $m',$ et qu’en négligeant le carré de la force perturbatrice, les sommes de tous ces termes donneront les valeurs entières de $r,v$ et $s.$ Cela suit de la nature des formules (X’), (Y) et (Z’), qui sont linéaires relativement aux quantités dépendantes de la force perturbatrice.

Enfin, on aura les perturbations de $m',$ produites par l’action de $m,$ en changeant, dans les formules précédentes, $a,n,h,l,\varepsilon ,\varpi ,p,q$ et $m'$ en $a',n',h',l',\varepsilon ',\varpi ',p',q'$ et $m$ et réciproquement.