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Dans la supposition des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, les variations séculaires des excentricités des orbites sont, par le n^o 55, déterminées au moyen d’équations différentielles indépendantes des inclinaisons, et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan ; or on a, dans cette hypothèse, $\varphi =0,\ \varphi '=0,\ldots$ ; l’équation précédente devient ainsi

const.$=e^{2}m{\sqrt {a}}+e'^{2}m'{\sqrt {a'}}+e''^{2}m''{\sqrt {a''}}+\ldots ,$

équation à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le n^o 57.

Pareillement, les variations séculaires des inclinaisons des orbites sont, par le n^o 59, déterminées au moyen d’équations différentielles indépendantes des excentricités, et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient circulaires ; or on a, dans cette hypothèse, $e=0,\ e'=0,\ldots$ ; partant, on aura

const.$=m{\sqrt {a}}\operatorname {tang} ^{2}\varphi +m'{\sqrt {a'}}\operatorname {tang} ^{2}\varphi '+m''{\sqrt {a''}}\operatorname {tang} ^{2}\varphi ''+\ldots ,$

équation à laquelle nous sommes parvenus dans le n^o 59.

Si l’on suppose, comme dans ce dernier numéro,

$p=\operatorname {tang} \varphi \sin \theta ,\qquad q=\operatorname {tang} \varphi \cos \theta ,$

il est facile de s’assurer que, l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur le plan des $x$ et des $y$ étant $\varphi ,$ et la longitude de son nœud ascendant, comptée de l’axe des $x,$ étant $\theta ,$ le cosinus de l’inclinaison de cette orbite sur le plan des $x$ et des $z$ sera

${\frac {q}{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}.$

En multipliant cette quantité par ${\frac {xdy-ydx}{dt}}$ ou par sa valeur ${\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},$ on aura la valeur de ${\frac {xdz-zdx}{dt}}\,;$ l’équation (5) du n^o 9 donnera donc, en négligeant les quantités de l’ordre $m^{2}$

$c'=mq{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'q'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}+\ldots$