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En substituant, au lieu de ${\frac {xdy-ydx}{dt}},{\frac {xdz-zdx}{dt}},{\frac {ydz-zdy}{dt}},$ leurs valeurs données par les trois premières des équations (P), on aura

$0={\frac {f'c'-fc''}{c}}+z\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdz}{dt^{2}}}+{\frac {ydydz}{dt^{2}}}.$

Cette équation rentre dans la sixième des intégrales (P), en y faisant $f''={\frac {f'c'-fc''}{c}},$ ou $0=fc''-f'c'+f''c.$ Ainsi la sixième des intégrales (P) résulte des cinq premières, et les six arbitraires $c,c',c'',$$f,f',f''$ sont liées entre elles par l’équation précédente.

Si l’on prend les carrés des valeurs de $f,f',f'',$ données par les équations (P), qu’ensuite on les ajoute ensemble, et que, pour abréger, on fasse $f^{2}+f'^{2}+f''^{2}=l^{2},$ on aura

$l^{2}-\mu ^{2}=\left[r^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}\right]\left({\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\mu }{r}}\right)\,;$

mais, si l’on carre les valeurs de $c,c',c''$, données par les mêmes équations, qu’ensuite on les ajoute, et que l’on fasse $c^{2}+c'^{2}+c''^{2}=<math>h^{2},$</math> on aura

$r^{2}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-\left({\frac {rdr}{dt}}\right)^{2}=h^{2}\,;$

l’équation précédente devient ainsi

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\mu }{r}}+{\frac {\mu ^{2}-l^{2}}{h^{2}}}.$

En comparant cette équation à la dernière des équations (P), on aura l’équation de condition

${\frac {\mu ^{2}-l^{2}}{h^{2}}}={\frac {\mu }{a}}.$

La dernière des équations (P) rentre conséquemment dans les six premières, qui n’équivalent elles-mêmes qu’à cinq intégrales distinctes, les sept arbitraires $c,c',c'',f,f',f''$ et $a$ étant liées par les deux équations de condition précédentes. De là il résulte que l’on aura l’expres-