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$\delta v={\frac {m^{\prime }}{2}}\Sigma \left\{{\frac {n^{2}}{i(n-n')^{2}}}a{\rm {A}}^{(i)}+{\frac {2n^{3}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}\right)}{i(n-n')\left[i^{2}(n-n^{\prime })^{2}-n^{2}\right]}}\right\}$

$\times \sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$

$+m'{\rm {C}}nte\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+m'{\rm {D}}nte'\cos(nt+\varepsilon -\varpi ')$

$+nm'\Sigma \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {F} ^{(i)}}{n-i(n-n')}}\\&\qquad \qquad \times e\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\+&{\frac {\mathrm {G} ^{(i)}}{n-i(n-n')}}\\&\qquad \qquad \times e'\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right]\end{aligned}}\right\}$

le signe intégral $\Sigma$ s’étendant dans ces expressions à toutes les valeurs entières, positives et négatives, de $i,$ la seule valeur $i=0$ étant exceptée.

On doit observer ici que, dans le cas même où la série représentée par $\Sigma {\rm {A}}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$ est peu convergente, ces expressions de ${\frac {\partial r}{a}}$ et de $\delta v$ le deviennent par les diviseurs qu’elles acquièrent. Cette remarque est d’autant plus importante que, sans elle, il eût été impossible d’exprimer analytiquement les perturbations réciproques des planètes dont les rapports des distances au Soleil diffèrent peu de l’unité.

Ces expressions peuvent être mises sous la forme suivante, qui nous sera utile dans la suite ; soit

${\begin{alignedat}{2}h&=e\sin \varpi ,&\qquad h'&=e'\sin \varpi ',\\l&=e\cos \varpi ,&\qquad l'&=e'\cos \varpi '\,;\end{alignedat}}$

on aura

${\frac {\partial r}{a}}={\frac {m'}{6}}a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {m'n^{2}}{2}}\Sigma {\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}}}$

$\times \cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$

${\begin{aligned}&-m'(hf+h'f')\sin(nt+\varepsilon )-m'(lf+l'f')\cos(nt+\varepsilon )\\&-{\frac {m'}{2}}(l{\rm {C}}+l'{\rm {D}})nt\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {m'}{2}}(h{\rm {C}}+h'{\rm {D}})nt\cos(nt+\varepsilon )\\&+n^{2}m'\Sigma \left\{{\begin{aligned}&{\frac {h{\rm {E}}^{(i)}+h'{\rm {D}}^{(i)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\\+&{\frac {l{\rm {E}}^{(i)}+l'{\rm {D}}^{(i)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$