partant, si l’on désigne
par
on aura l’action entière de la couche sphérique sur le point attiré, au moyen de l’intégrale
différentiée par rapport à
et divisée par ![{\displaystyle dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a98a761546ea6017b2f4a7282ac56a2ab0770a)
Cette intégrale doit être prise relativement à
depuis
jusqu’à
égal à la circonférence, et après cette intégration elle devient
![{\displaystyle 2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \varphi _{1}(f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcf574e5d0aaf4034fa6efd50fb7c352ef8e8de)
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Si l’on différentie la valeur de
par rapport à
on aura
![{\displaystyle d\theta \sin \theta ={\frac {fdf}{ru}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcfb0f5bbfc9ef0a32b80ab58c1171593e8842c)
et par conséquent
![{\displaystyle 2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \varphi _{1}(f)=2\pi {\frac {udu}{r}}\int fdf\varphi _{1}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4058bb2ca64e4fac9459950d2b684ac384e312a6)
L’intégrale relative à
doit être prise depuis
jusqu’à
et à ces deux limites on a
et
ainsi l’intégrale relative à
doit être prise depuis
jusqu’à
soit donc
on aura
![{\displaystyle {\frac {2\pi udu}{r}}\int fdf\varphi _{1}(f)={\frac {2\pi udu}{r}}\left[\psi (r+u)-\psi (r-u)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f707637ab107b195410ac30fcea376cfe575bd)
Le coefficient de
dans la différentielle du second membre de cette équation prise par rapport à
donnera l’attraction de la couche sphérique sur le point attiré, et il est facile d’en conclure que dans la nature, où
cette attraction est égale à
c’est-à-dire qu’elle est la même que si toute la masse de la couche sphérique était réunie à son centre, ce qui fournit une nouvelle démonstration de la propriété que nous avons établie précédemment sur l’attraction des sphères.
Déterminons maintenant
d’après la condition que l’attraction de la couche est la même que si sa masse était réunie à son centre.