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partant, si l’on désigne $fdf\varphi (f)$ par $\varphi _{1}(f),$ on aura l’action entière de la couche sphérique sur le point attiré, au moyen de l’intégrale $u^{2}du\int d\varpi d\theta \sin \theta \varphi _{1}(f),$ différentiée par rapport à $r$ et divisée par $dr.$

Cette intégrale doit être prise relativement à $\varpi ,$ depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi$ égal à la circonférence, et après cette intégration elle devient

$2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \varphi _{1}(f),$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Si l’on différentie la valeur de $f$ par rapport à $\theta ,$ on aura

$d\theta \sin \theta ={\frac {fdf}{ru}},$

et par conséquent

$2\pi u^{2}du\int d\theta \sin \theta \varphi _{1}(f)=2\pi {\frac {udu}{r}}\int fdf\varphi _{1}(f).$

L’intégrale relative à $\theta$ doit être prise depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =0\pi ,$ et à ces deux limites on a $f=r-u$ et $f=r+u\,;$ ainsi l’intégrale relative à $f$ doit être prise depuis $f=r-u$ jusqu’à $f=r+u\,;$ soit donc $\int fdf\varphi _{1}(f)=\psi (f)\,;$ on aura

${\frac {2\pi udu}{r}}\int fdf\varphi _{1}(f)={\frac {2\pi udu}{r}}\left[\psi (r+u)-\psi (r-u)\right].$

Le coefficient de $dr,$ dans la différentielle du second membre de cette équation prise par rapport à $r,$ donnera l’attraction de la couche sphérique sur le point attiré, et il est facile d’en conclure que dans la nature, où $\varphi (f)={\frac {1}{f^{2}}},$ cette attraction est égale à ${\frac {4\pi u^{2}du}{r^{2}}},$ c’est-à-dire qu’elle est la même que si toute la masse de la couche sphérique était réunie à son centre, ce qui fournit une nouvelle démonstration de la propriété que nous avons établie précédemment sur l’attraction des sphères.

Déterminons maintenant $\varphi (f)$ d’après la condition que l’attraction de la couche est la même que si sa masse était réunie à son centre.