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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

donc égale à la différentielle de $x,$ prise en supposant $z,$ $y$ et $t$ constants, ce qui donne les trois équations

${\begin{aligned}dx&={\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,\\\\0&={\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc,\\\\0&={\frac {\partial z}{\partial a}}da+{\frac {\partial z}{\partial b}}db+{\frac {\partial z}{\partial c}}dc.\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\text{ϐ}}={\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\,;$

on aura

$dx={\frac {{\text{ϐ}}da}{{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}}}\,;$

c’est l’expression de la base du parallélogramme ($\lambda \,;$) la surface de ce parallélogramme sera donc ${\frac {{\text{ϐ}}\,da\,db}{\frac {\partial z}{\partial c}}}.$ Cette quantité exprime encore la surface du parallélogramme (ε) ; en la multipliant par ${\frac {\partial z}{\partial c}}dc,$ on aura ${\text{ϐ}}\,da\,db\,dc$ pour le volume des parallélépipèdes (C) et (B). Soit $\rho$ la densité du parallélépipède (Α) après le temps t ; on aura $\rho {\text{ϐ}}\,da\,db\,dc$ pour sa masse ; en l’égalant à sa masse primitive $(\rho )da\,db\,dc$, on aura

(G)                              $\rho {\text{ϐ}}=(\rho ),$
pour l’équation relative à la continuité du fluide.

33. On peut donner aux équations (F) et (G) une autre forme d’un usage plus commode dans quelques circonstances. Soient $u,$ $v$ et $w$ les vitesses d’une molécule fluide, parallèlement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z\,;$ on aura

${\frac {\partial x}{\partial t}}=u$,     ${\frac {\partial y}{\partial t}}=v$,     ${\frac {\partial z}{\partial t}}=w.$