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ce qui donne

${\frac {d\varpi }{dt}}=(0,\ 1)-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}{\frac {e'}{e}}\cos(\varpi '-\varpi )\,;$

on aura donc, en vertu des actions réciproques des corps $m,m',m'',\ldots$.

${\begin{aligned}{\frac {d\varpi }{dt}}&=(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots -{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}{\frac {e'}{e}}\cos(\varpi '-\varpi )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}{\frac {e''}{e}}\cos(\varpi ''-\varpi )-\ldots ,\\{\frac {d\varpi '}{dt}}&=(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots -{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}{\frac {e}{e'}}\cos(\varpi -\varpi ')\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}{\frac {e''}{e'}}\cos(\varpi ''-\varpi ')-\ldots ,\\{\frac {d\varpi ''}{dt}}&=(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots -{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}{\frac {e}{e''}}\cos(\varpi -\varpi '')\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}{\frac {e'}{e''}}\cos(\varpi '-\varpi '')-\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si l’on multiplie ces valeurs de ${\frac {de}{dt}},{\frac {de'}{dt}},\ldots ,{\frac {d\varpi }{dt}},{\frac {d\varpi '}{dt}},\ldots$ par le temps $t$, on aura les expressions différentielles des variations séculaires des excentricités et des périhélies, et ces expressions, qui ne sont rigoureuses que lorsque $t$ est infiniment petit, pourront cependant servir pendant un long intervalle, relativement aux planètes. Leur comparaison avec des observations précises et éloignées entre elles est le moyen le plus exact de déterminer les masses des planètes qui n’ont point de satellites. On a, pour un temps quelconque $t,$ l’excentricité $e$ égale à $e+t{\frac {de}{dt}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}e}{dt^{2}}}+\ldots \,;\ e,{\frac {de}{dt}},{\frac {d^{2}e}{dt^{2}}},\ldots$ étant relatifs à l’origine du temps $t$ ou à l’époque. La valeur précédente de ${\frac {de}{dt}}$ donnera, en la différentiant et en observant que $a,a',\ldots$ sont constants, les valeurs de ${\frac {d^{2}e}{dt^{2}}},{\frac {d^{3}e}{dt^{3}}},\ldots \,;$ on pourra donc continuer aussi loin que l’on voudra la série précédente, et, par le même procédé, la série relative à $\varpi$ ; mais, relativement aux planètes, il suffira, dans la comparaison des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d’avoir égard au carré du temps, dans les expressions en séries de $e,e',\ldots ,\varpi ,\varpi '\ldots$