Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/333

Les valeurs de $b_{\frac {3}{2}}^{(0)}$ et de $b_{\frac {3}{2}}^{(1)}$ peuvent être déterminées fort simplement par les formules suivantes :

$b_{\frac {3}{2}}^{(0)}={\frac {b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},\qquad b_{\frac {3}{2}}^{(1)}=-3{\frac {b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Maintenant, pour avoir les quantités ${\rm {{A}^{(0)},A^{(1)},\ldots }}$ et leurs différences, on observera que, par le numéro précédent, la série

${\frac {1}{2}}{\rm {A^{(0)}+A^{(1)}\cos \theta +A^{(2)}\cos 2\theta +\ldots }}$

résulte du développement de la fonction

${\frac {a\cos \theta }{a'^{2}}}-\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$

dans une suite de cosinus de l’angle $\theta$ et de ses multiples ; en faisant ${\frac {a}{a'}}=\alpha ,$ cette même fonction se réduit à

$-{\frac {1}{2a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}+\left({\frac {a}{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}\right)\cos \theta -{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(2)}\cos 2\theta -\ldots$

ce qui donne généralement

$\mathrm {A} ^{(i)}=-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(i)},$

lorsque $i$ est zéro ou plus grand que $1,$ abstraction faite du signe. Dans le cas de $i=1,$ on a

$\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {a}{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.$

On a ensuite

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'}}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }}{\frac {\partial \alpha }{\partial a}}\,;$

or on a ${\frac {\partial \alpha }{\partial a}}={\frac {1}{a'}}\,;$ partant

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'^{2}}}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha }},$