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Cela posé, l’action de $m$ sur $\mathrm {M} ,$ décomposée parallèlement à l’axe des $x$ et en sens contraire de leur origine, sera ${\frac {mx}{r^{3}}}\,;$ celle de $m'$ sur $\mathrm {M} ,$ décomposée suivant la même direction, sera ${\frac {m'x'}{r'^{3}}},$ et ainsi du reste. On aura donc, pour déterminer $\zeta ,$ l’équation différentielle

$0={\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}-\Sigma {\frac {mx}{r^{3}}}\,;$

on aura pareillement

${\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}\Pi }{dt^{2}}}-\Sigma {\frac {my}{r^{3}}},\\\\&0={\frac {d^{2}\gamma }{dt^{2}}}-\Sigma {\frac {mz}{r^{3}}}.\end{aligned}}$

L’action de ${\rm {M}}$ sur $m$, décomposée parallèlement à l’axe des $x$, et dirigée en sens contraire de leur origine, sera $-{\frac {\mathrm {M} x}{r^{3}}},$ et la somme des actions des corps $m',m'',\ldots$ sur $m,$ décomposées suivant la même direction, sera ${\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\,;$ on aura donc

$0={\frac {d^{2}(\zeta +x)}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} x}{r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\,;$

en substituant au lieu de ${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}$ sa valeur $\Sigma {\frac {mx}{r^{3}}},$ on aura

(1)

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} x}{r^{3}}}+\Sigma {\frac {mx}{r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\,;$

on aura pareillement

(2)

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} y}{r^{3}}}+\Sigma {\frac {my}{r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},$

(3)

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {M} z}{r^{3}}}+\Sigma {\frac {mz}{r^{3}}}-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.$

Si l’on change successivement, dans les équations (1), (2), (3), les quantités $m,x,y,z$ dans celles-ci, $m',x',y',z'\,;m'',x'',y'',z''$ etc.,