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Il nous reste à déterminer les perturbations du mouvement en latitude. Pour cela, nous reprendrons la troisième des équations (P); en l’intégrant comme nous avons intégré l’équation (S), et faisant $z=r\delta s,$ nous aurons

(Z)

$\delta s={\frac {a\cos v\int ndtr\sin v{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}-a\sin v\int ndtr\cos v{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

$\delta s$ est la latitude de $m$ au-dessus du plan de son orbite primitive : si l’on veut rapporter le mouvement de $m$ sur un plan peu incliné à cette orbite, en nommant $s$ sa latitude lorsqu’il est supposé ne point quitter le plan de cette orbite, $s+\delta s$ sera à très-peu près la latitude de $m$ au-dessus du plan proposé.

47. Les formules (X), (Y) et (Z) ont l’avantage de présenter sous une forme finie les perturbations, ce qui est très-utile dans la théorie des comètes, dans laquelle ces perturbations ne peuvent être déterminées que par des quadratures ; mais le peu d’excentricité et d’inclinaison respective des orbites des planètes permet de développer leurs perturbations en séries convergentes de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps, et d’en former des Tables qui peuvent servir pour un temps indéfini. Alors, au lieu des expressions précédentes de $\delta r$ et de $\delta s,$ il est plus commode de faire usage des équations différentielles qui déterminent ces variables. En ordonnant ces équations par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, on peut toujours réduire la détermination des valeurs de $\delta r$ et de $\delta s$ à l’intégration d’équations de la forme

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+n^{2}y+{\rm {{Q},}}$

équations dont nous avons donné les intégrales dans le n^o 42. Mais on peut donner immédiatement cette forme très-simple aux équations différentielles précédentes, par la méthode suivante.